ТОП 10:

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ



Скалярным произведением двух векторов � и � называется произ-

a b

� � �
ведение их модулей на косинус угла между ними.

a
a
a
Обозначения: �× b = �b = ( �, b ).

Согласно определению

� � � � � �

a b = | a | × | b | × cos( a,^ b ). (1.14)


 

Скалярное произведение � · � обращается в нуль, если один из

a b � �

сомножителей равен нулю или если векторы a и b перпендикуляр- ны (в этом случае косинус угла между векторами равен нулю).

 

 

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Некоторые физические величины определяются как скалярное

произведение векторных физических величин. �

r
 
Так, элементарной работой , совершаемой силой F на элемен- тарном перемещении d � , называется скалярное произведение

F
r
F
r
= × d � = | | × | d � | × cosa, (1.15)

 
 

где a — меньший угол между перемножаемыми векторами.

Рис. 1.15

Если сила F и угол a постоянны, а тело движется прямолинейно, то работа силы на перемещении S

А = S × F × cosa, (1.16)

где S — модуль перемещения материальной точки. �

v
Мощность P равна скалярному произведению вектора силы F, действующей на тело, и вектора скорости этого тела �:

 
 

F
v
P = × � = F × v × cosa. (1.17)

Рис. 1.16

Элементарн�ым потоком вектора магнитной индукции B через поверхность dS называется скалярное произведение


 

� �


= B × dS

где a — угол между вектором B


= B × dS × cosa, (1.18)

n
и вектором нормали � к данной по-


 
 

верхности (рис. 1.17).

Рис. 1.17

 

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. В каком случае скалярное произведение двух векторов положитель- но? Отрицательно? Равно нулю?

2. Поясните физический смысл скалярного произведения.

3. Изменится ли результат скалярного произведения двух векто- ров, если поменять местами перемножаемые векторы?

 

 

Примеры решения задач

Задача 1.7

� �

�Найти скалярное произведение a × b , если длины векторов | a | = 2 м и | b | = 1 м, а угол ме�жду ними a = 120°.

Дано: | � | = 2 м; | b | = 1 м; a = 120°.

a� �

Найти: a × b .

По определению скалярного произведения

� � � � 1

a × b = | a | × | b | × cosa = 2 × 1 × cos120° = 2 × 1 × (- ) = -1 м2.

� � 2

Ответ: скалярное произведение a × b = -1 м2.


 

Задача 1.8

Определить работу А силы F , модуль которой | F | = 5 Н.

 

Длина вектора перемещен�ия | S | = 4 м. Сила F действует под уг- лом a = 45° к перемещению S .

 

Дано: | F | = 5 Н; | S | = 4 м; a = 45°.

Найти: AF .

По определению работа А силы F


� �

A = × = | | × | | × cosa = 4 × 5 ×


= 10 ×


» 14,1 Дж.


F S F S F 2

Ответ: работа силы AF » 14,1 Дж.

Задача 1.9

Автомобиль массой m = 1000 кг перемещается прямолинейно под

действием с�илы тяги F�= 5000 Н. Найти работу А, совер�шаемую си-

лами тяги F , трения Fтр , нормальной реакции опоры N и тяжести

mg на перемещении S = 1 км. Коэффициент трения m = 0,1. Уско-

рение свободного падения g = 10 м/с2.

Дано: m = 1000 кг; F = 5000 Н; S = 1 км = 1000 м; m = 0,1;

g = 10 м/с2.

F
тр
Найти: AF , A , AN , Amg .

 
 

 

Работа силы тяги:

AF = F × S × cosa = 5000 × 10�00 × cos0° = 5000 × 1000 × 1= 5 × 106 Дж (между векторами силы тяги F и перемещения угол a = 0°).

Работа силы трения:

тр
AF = Fтр× S × cosa = mmg × S × cosa = 0,1 × 1000 × 10 × 1000 × cos180°�=

= 0,1 × 1000 × 10 × 1000 × (–1) = –106 Дж (между векторами силы трения Fтр

и перемещения угол a = 180°).

Работа силы тяжести:

Amg = mg × S × cosa = 1000 × 10 × 1000 × cos90° 0 = 0 Дж (между век-

mg
торами силы тяжести � и перемещения угол a = 90°).


 

Работа силы реакции опоры:

AN = N × S × cosa = mg × S × cosa = 1000 × 10 × 1000 × cos90° =

= 1000 × 10 × �1000 × cos90° = 0 Дж (между векторами нормальной ре-

акции опоры N и перемещения угол a = 90°�). �

Ответ: работа, сове�ршаемая силами тяги F , трения Fтр, нормаль-

ной реакции опоры N и тяжести � , A = 5×106 Дж, A = -106 Дж,


mg F

AN = 0 Дж, Amg = 0 Дж соответственно.

Задача 1.10


Fтр


Человек тянет сани, прикладывая силу F = 10 Н под углом a = 30° к горизонту. Под действием этой силы сани перемещаются горизонталь- но со скоростью v = 5 м/с. Найти мощность P, развиваемую силой.

Дано: F = 10 Н; a = 30°; v = 5 м/с.

Найти: Р. � �

Мощность P= F × v = F× v × cosa =

= 10 × 5 × cos30° = 10 × 5 × = 42 Вт.

2 �

Ответ: развиваемая силой F

мощность P = 42 Вт.

Задача 1.11

Рамка площадью S = 1 м2 рас- положена в однородном магнитном поле с индукцией В = 10–3 Тл так,

что между векторами нормали � и

n

индукции B угол a�= 60°. Определить поток Ф вектора B через рамку.

Дано: S = 1 м2; a = 60°; В = 10–3 Тл.

Найти: Ф.

По определению магнитного потока

Ф = В × S × cosa = 10–3 × 1 × cos60° = 0,5 × 10–3 Вб. Ответ: магнитный поток Ф = 0,5 × 10–3 Вб.


 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.22.210 (0.008 с.)