Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов � и � называется произ-

a b

� � �

ведение их модулей на косинус угла между ними.

a

a

a

Обозначения: �× b = � b = (�, b).

Согласно определению

� � � � � �

a b = | a | × | b | × cos(a,^ b). (1.14)

 

Скалярное произведение � · � обращается в нуль, если один из

a b � �

сомножителей равен нулю или если векторы a и b перпендикуляр- ны (в этом случае косинус угла между векторами равен нулю).

 

 

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Некоторые физические величины определяются как скалярное

произведение векторных физических величин. �

r

Так, элементарной работой dА, совершаемой силой F на элемен- тарном перемещении d �, называется скалярное произведение

F

r

F

r

dА = × d � = | | × | d � | × cosa, (1.15)

где a — меньший угол между перемножаемыми векторами.

Рис. 1.15

Если сила F и угол a постоянны, а тело движется прямолинейно, то работа силы на перемещении S

А = S × F × cosa, (1.16)

где S — модуль перемещения материальной точки. �

v

Мощность P равна скалярному произведению вектора силы F, действующей на тело, и вектора скорости этого тела �:

�

F

v

P = × � = F × v × cosa. (1.17)

Рис. 1.16

�

Элементарн�ым потоком dФ вектора магнитной индукции B через поверхность dS называется скалярное произведение

 

� �

dФ = B × dS

�

где a — угол между вектором B

= B × dS × cosa, (1.18)

n

и вектором нормали � к данной по-

верхности (рис. 1.17).

Рис. 1.17

 

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. В каком случае скалярное произведение двух векторов положитель- но? Отрицательно? Равно нулю?

2. Поясните физический смысл скалярного произведения.

3. Изменится ли результат скалярного произведения двух векто- ров, если поменять местами перемножаемые векторы?

 

 

Примеры решения задач

�

Задача 1.7

� �

�Найти скалярное произведение a × b, если длины векторов | a | = 2 м и | b | = 1 м, а угол ме�жду ними a = 120°.

Дано: | � | = 2 м; | b | = 1 м; a = 120°.

a � �

Найти: a × b.

По определению скалярного произведения

� � � � 1

a × b = | a | × | b | × cosa = 2 × 1 × cos120° = 2 × 1 × (-) = -1 м2.

� � 2

Ответ: скалярное произведение a × b = -1 м2.

 

Задача 1.8

�

Определить работу А силы F, модуль которой | F | = 5 Н.

 

�

Длина вектора перемещен�ия | S | = 4 м. Сила F действует под уг- лом a = 45° к перемещению S.

 

Дано: | F | = 5 Н; | S | = 4 м; a = 45°.

Найти: AF.

По определению работа А силы F

� �

A = × = | | × | | × cosa = 4 × 5 ×

= 10 ×

» 14,1 Дж.

F S F S F 2

Ответ: работа силы AF» 14,1 Дж.

Задача 1.9

Автомобиль массой m = 1000 кг перемещается прямолинейно под

действием с�илы тяги F �= 5000 Н. Найти работу А, совер�шаемую си-

�

лами тяги F, трения F тр, нормальной реакции опоры N и тяжести

mg на перемещении S = 1 км. Коэффициент трения m = 0,1. Уско-

рение свободного падения g = 10 м/с2.

Дано: m = 1000 кг; F = 5000 Н; S = 1 км = 1000 м; m = 0,1;

g = 10 м/с2.

F

тр

Найти: AF, A, AN, Amg.

 

Работа силы тяги:

AF = F × S × cosa = 5000 × 10�00 × cos0° = 5000 × 1000 × 1= 5 × 106 Дж (между векторами силы тяги F и перемещения угол a = 0°).

Работа силы трения:

тр

AF = F тр× S × cosa = m mg × S × cosa = 0,1 × 1000 × 10 × 1000 × cos180°�=

= 0,1 × 1000 × 10 × 1000 × (–1) = –106 Дж (между векторами силы трения F тр

и перемещения угол a = 180°).

Работа силы тяжести:

Amg = mg × S × cosa = 1000 × 10 × 1000 × cos90° 0 = 0 Дж (между век-

mg

торами силы тяжести � и перемещения угол a = 90°).

 

Работа силы реакции опоры:

AN = N × S × cosa = mg × S × cosa = 1000 × 10 × 1000 × cos90° =

= 1000 × 10 × �1000 × cos90° = 0 Дж (между векторами нормальной ре-

акции опоры N и перемещения угол a = 90°�). �

Ответ: работа, сове�ршаемая силами тяги F, трения F тр, нормаль-

ной реакции опоры N и тяжести �, A = 5×106 Дж, A = -106 Дж,

mg F

AN = 0 Дж, Amg = 0 Дж соответственно.

Задача 1.10

F тр

Человек тянет сани, прикладывая силу F = 10 Н под углом a = 30° к горизонту. Под действием этой силы сани перемещаются горизонталь- но со скоростью v = 5 м/с. Найти мощность P, развиваемую силой.

Дано: F = 10 Н; a = 30°; v = 5 м/с.

Найти: Р. � �

Мощность P= F × v = F× v × cosa =

= 10 × 5 × cos30° = 10 × 5 × = 42 Вт.

2 �

Ответ: развиваемая силой F

мощность P = 42 Вт.

Задача 1.11

Рамка площадью S = 1 м2 рас- положена в однородном магнитном поле с индукцией В = 10–3 Тл так,

что между векторами нормали � и

� n

индукции B угол a�= 60°. Определить поток Ф вектора B через рамку.

Дано: S = 1 м2; a = 60°; В = 10–3 Тл.

Найти: Ф.

По определению магнитного потока

Ф = В × S × cosa = 10–3 × 1 × cos60° = 0,5 × 10–3 Вб. Ответ: магнитный поток Ф = 0,5 × 10–3 Вб.