Вынужденные механические колебания

Рассмотрим колебания на примере пружинного маятника (рис. 6.11), который периодически подвергается внешним воздействиям в виде толчков, направленных в одну и ту же сторону и повторяющихся че- рез одинаковые промежутки времени. Переменную внешнюю силу, приложенную к телу на пружине и вызывающую механические ко-

лебания, называют возмущающей силой�. Пу�сть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону F = F 0 sin Ù t, где F 0, Ù — ам-

плитуда и циклическая частота возмущающей сил�ы. Пусть на систе-

му действуют сила тяжести �, сила упругости F, сила сопротив-

� mg

� � упр

ления среды

FR и возмущающая сила F = F 0 sin Ù t.

Запишем второй закон Ньютона для груза

� � � � �

mg + F упр + FR + F 0 sin Ù t = ma. (6.44) Если повторить процедуры, проделанные в параграфе 6.6, с уче-

том возмущающей силы, получим:

 

или

d 2 x

m

dt 2

= - kx - r dx + F sin Ù t

dt 0

d 2 x + b dx F

2 + w2 x = 0 sin Ù t.

 

(6.45)

dt 2 dt 0 m

Общее решение полученного неоднородного линейного дифферен- циального уравнения с постоянными коэффициентами (см. § 4.5 гла- вы «Математическое введение») складывается из двух слагаемых:

 

1) общего решения соответствующего однородного дифференци- ального уравнения

d 2 x

dt 2

имеющего при w0 > b вид:

+ 2b dx

dt

+ w2 x = 0,

1 0 0

x (t) = A e -b t sin(w t + j),

2) частного решения неоднородного дифференциального урав- нения

d 2 x

+ 2b dx + w2 x = F 0 sin Ù t

имеющего вид:

dt 2

dt 0 m

Пояснение

x 2 (t) = A sin (Ù t -q),

При наличии вязкого сопротивления среды в линейных систе- мах (линейными системами называются системы, содержащие про- изводные и функции в первой степени) нет явления резонанса (о ре- зонансе будет сказано позже). Поэтому частное решение x 2(t) мож- но искать в виде правой части (6.45). Однако из-за наличия вязкого сопротивления среды, движение груза отстает по фазе на q от возму- щающей силы F. Вследствие этого частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется не в в виде x (t) = A sin Ù t, а в виде x 2 (t) = A sin(Ù t - q).

Общее решение уравнения (6.45) равно сумме двух решений

x (t) = x 1(t) + x 2 (t)

или

 

0 0

x (t) = A e -b t sin(w t + j) + A sin(Ù t - q).

Вынужденные колебания устанавливаются не сразу, так как груз одновременно совершает и собственные, и вынужденные колебания. Собственные колебания маятника x 1(t) постепенно затухают. Оста- ются только вынужденные колебания с частотой возмущающейся силы Ù

x (t) = A sin(Ù t - q). (6.45а) Чтобы найти A и q необходимо решение (6.45а) подставить (6.45). Однако возникают затруднения из-за того, что х (t) и правая часть

(6.45) имеют разные фазы. Чтобы устранить затруднение, искусст-

 

венно преобразуем правую часть (6.45) таким образом, чтобы фазы были одинаковые.

Пояснение к искусственному преобразованию

Распишем по формуле синус суммы двух углов

sin Ù t = sin(Ù t - q + q) = sin(Ù t - q) cosq + cos(Ù t - q) sin q. (6.45б) Подставим решение (6.45а) в (6.45), при этом в правой части урав-

нения учтем преобразование (6.45б).

- A Ù2 sin(Ù t - q) + 2b A Ùcos(Ù t - q) + w2 A sin(Ù t - q) º

m

º F 0[sin(Ù t -q) cosq+cos(Ù t -q) sin q].

(6.45в)

 

Так как (6.45в) есть тождество, то приравняв соответствующие ко- эффициенты при sin(Ù t - q) и cos(Ù t - q), получим

+ A (-Ù2 + w2) = F 0 cosq,

0 m

2b A Ù = F 0 sin q.

m

(6.45с)

Для определения амплитуды А вынужденных колебаний возве- дем обе части уравнения (6.45с) в квадрат, сложим и извлечем ко- рень квадратный.

Так как амплитуда величина положительная, то оставим только положительное значение корня

F

2

A 2 ⎡(w2 - Ù2)2 + 4b2Ù2 ⎤= 0,

⎣ 0 ⎦ m 2

A = F 0.

 

(6.46)

m (w2 - Ù2)2 + 4b2Ù2

Для определения сдвига фазы q разделим второе уравнение на пер- вое (6.45с), получим

 

Отсюда

tgq = 2bÙ.

w2 - Ù2

q = arctg 2bÙ.

w2 - Ù2

Таким образом, если внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, то вынужденные колебания являются так- же гармоническими.

 

Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой возмущаю- щей силы Ù и не зависит от свойств колеблющейся системы и сре- ды (w0 и b).

Вынужденные колебания даже при наличии сопротивления среды являются незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний мо- жет быть очень большой при малых значениях сопротивления сре- ды и возмущающей силы, если частота возмущающей силы Ù близ- ка к собственной частоте w0.

И наоборот, амплитуда вынужденных колебаний может быть сколь угодно малой при больших значениях возмущающих сил, если часто- та возмущающих сил Ù сильно отличается от частоты w0 (т. е. Ù << w0либо Ù >> w0).

Амплитуда А вынужденных колебаний и величина q, определяю-

щая сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и возмущающей силой, от начальных условий не

зависят, но зависят от соотноше- ния частот возмущающей силы и собственных колебаний.

Рассмотрим зависимость ам- плитуды вынужденных колеба- ний А от частоты возмущающей

силы Ù (рис. 6.14) при фиксиро- ванных F 0, w0 и m.

Если Ù = 0 (сила F постоянна), то

Рис. 6.14

A = F 0

m w2

 

= Ä,

где Ä — статическая деформация.

Если Ù = ¥, то A ® 0.

Если b = 0, то при Ù = w0 А стремиться к бесконечности.

Это имеет место, когда коэффициент сопротивления среды ра- вен нулю.

Если b ¹ 0, то при некоторой определенной для данного пружин- ного маятника частоте возмущающей силы Ùрез < w0 амплитуда ко- лебаний А достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды установившихся вынуж- денных колебаний при приближении частоты Ù внешней возмущающей

силы к некоторой характерной для данного маятника частоте Ùрез по- лучило название механического резонанса.

Чтобы найти резонансную частоту Ùрез для рассматриваемой сис- темы, необходимо исследовать подкоренное выражение (6.46) на экс- тремум (при этом следует иметь в виду, что экстремумы амплитуды A (Ù) и подкоренного выражения f (Ù) противоположны).

Возьмем производную от подкоренной функции

f (Ù) = (w2 - Ù2)2 + 4b2Ù2

по частоте Ù и приравняем ее к нулю

df (Ù) = 2(-2Ù)(w2 - Ù2) + 8b2Ù = 0.

d Ù 0

Из полученного равенства находится то значение аргумента Ù, при котором подкоренное выражение будет либо максимальным, либо минимальным:

-4Ùw2 + 4Ù3 + 8Ùb2 = 4Ù(-w2 + Ù2 + 2b2) = 0.

0 0

Так как Ù ¹ 0, то равенство имеет место только тогда, когда со- множитель (-w2 + Ù2 + 2b2) = 0. Отсюда следует

Ù = ±.

Так как Ù — существенно положительная величина, то берем толь- ко положительное значение корня.

Чтобы выяснить, какой экстремум имеет место при значении ар-

гумента Ù =

, необходимо взять вторую производную от

функции f = f (Ù) и исследовать ее знак.

d 2 f

 

d 2 f

Если > 0, то функция f = f (Ù) — минимальна, если < 0,

d Ù2 d Ù2

то функция f = f (Ù) — максимальна.

d 2 f

= -4w2 + 12Ù2 + 8b2 = -4w2 + 12w2 - 24b2 + 8b2 =

d Ù2 ⎡Ù= w2 - 2b2 ⎤ 0 0 0

⎣⎢ 0 ⎦⎥

= 8w2 -16b2 = 8(w2 - 2b2) = 8Ù2.

0 0

d 2 f

Так как

d Ù2

= 8Ù2 > 0, то при частоте Ù =

подкорен-

ное выражение f = f (Ù) принимает минимальное значение, следо- вательно, амплитуда колебаний А достигнет наибольшего (макси- мального) значения.

 

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний А принима- ет максимальное значение, когда частота возмущающей силы равна

Частоту возмущающей силы, при которой амплитуда А достигает

максимального значения, называют резонансной частотой.

Ùрез =

. 6.47

Из формулы видно, что резонансная частота Ùрез меньше частоты собственных незатухающих колебаний маятника w0.

З ависимость A = A (Ù) называется резонансной кривой. На рис. 6.14 изображены резонансные кривые, соответствующие различным зна- чениям коэффициента затухания (b0= 0, b1< b2< b3). Максимум ре- зонансной кривой тем выше и острее, чем меньше b. При отсутствии сопротивления среды (b0= 0) амплитуда бесконечна (A ® ¥).

При сооружении строительных объектов в сейсмических зонах не- обходимо учитывать резонансные явления. Собственная частота объ- екта должна отличаться от частоты колебаний земной коры, наблю- даемой в данной местности. В этом случае при землетрясении есть вероятность сохранения построенных зданий.

 

Вопросы и задания для самоподготовки

1. Почему незатухающие колебания в реальных системах могут быть только вынужденными?

2. Почему важен случай гармонического внешнего воздействия на колебательную систему?

3. Какие процессы наблюдаются при вынужденных колебаниях, когда частота возмущающей силы Ù приближается к собственной частоте w0?

4. Что такое резонансная частота вынужденных колебаний, от чего она зависит?

5. Изменяется ли амплитуда вынужденных колебаний со време- нем при постоянной частоте возмущающей силы?

6. От каких параметров зависит амплитуда вынужденных коле- баний?

7. Может ли амплитуда вынужденных колебаний быть бесконеч- но большой?

 

8. Почему при увеличении частоты возмущающей силы, дейст- вующей на колеблющуюся систему, амплитуда вынужденных коле- баний достигает максимума, затем убывает?

 

Примеры решения задач

Задача 6.14

Тело совершает затухающие колебания с максимальным значени- ем амплитуды А 0 = 7 см, начальной фазой j0 = 0, коэффициентом за- тухания b = 1,6 с–1. На это тело начала действовать внешняя перио- дическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид

x 2 (t) = 12 sin(10p t - 0, 75p) см.

Найти уравнение (с числовыми коэффициентами) собственных затухающих колебаний.

Дано: А 0 = 7 см; j0 = 0; b =1,6 с–1; x 2 (t) = 12 sin(10p t - 0, 75p) см. Найти: x (t).

Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде

0 0

x (t) = A e -b t sin(w t + j).

Чтобы записать приведенное уравнение с числовыми коэффици- ентами, необходимо вычислить циклическую частоту затухающих колебаний w.

По тексту дано уравнение вынужденных колебаний

x 2 (t) = 12 sin(10p t - 0, 75p) см, где А = 0,12 м, Ù = 10p, j = –0,75 p.

Обозначим начальную фазу вынужденных колебаний — q и вы-

числим

tgq = tg(-0, 75p) = -1.

Начальная фаза вынужденных колебаний вычисляется по фор- муле (см. § 6.7)

tgq = -

2bÙ.

w2 -Ù2

Приравняв правые части представленных выражений, получим

-1 = - 2bÙ.

w2 - Ù2

 

 

Собственная частота системы равна w0=. Частота затухающих колебаний равна w =

w = = = 10, 5p.

Ответ: уравнение затухающих колебаний системы с числовыми

коэффициентами имеет вид x (t) = 7 e -1,6 t sin10, 5p t

(см).

 

Задача 6.15

Период затухающих колебаний системы T = 0,1 с, а отношение

амплитуд первого и одиннадцатого колебаний m =

A 1

A 11

= 21. Опреде-

лить резонансную частоту Ù p, коэффициент затухания b и на сколь- ко резонансная частота меньше собственной частоты Äw данной ко- лебательной системы.

Дано: T = 0,1 с; m =

Найти: Ù p, b, Äw.

A 1

A 11

= 21.

Резонансная частота вынужденных колебаний и период затухаю- щих колебаний определяются по формулам

Ù p =

и

, (1)

T = 2p.

 

Собственная частота w0колеблющейся системы равна

T 2 =

4p2

, w2 - b2 =

4p2

, w =

 

. (2)

w2- b2 0

T 2 0

Из (1) и (2) находим резонансную частоту

Ù p = =.

Для нахождения коэффициента затухания b запишем уравнение, связывающее первую и одиннадцатую амплитуды с учетом того, что время между первой и одиннадцатой амплитудой составляет 10 пе- риодов и равно t = 10 T.

1 0

A = A e -b t,

A = A e -b(t +10 T).

11 0

 

Из уравнений следует

 

A = A e -b10 T,

11 1

A 1 A 11

= 5 b10 T = m.

Прологарифмировав последнее уравнение, получим

ln m = b10 T. Вычислим первую неизвестную величину b

b = ln m = 3, 04.

10 T

Расчетные формулы и величины резонансной и собственной час- тоты системы равны соответственно

2p ⎛ ln m ⎞ 2

Ù p = T

1-⎜⎝ 2p10 T ⎟⎠

= 62, 76 рад/с,

w0 =

b2 +4p

T 2

= 62,83 рад/с.

Ответ: резонансная частота Ù p = 62,76 рад/с, коэффициент зату- хания b = 3.04, резонансная частота Ù p меньше собственной w0на Äw = 0,07 рад/с. Собственная частота колебаний системы w0= 62,83 рад/с.

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ