Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Скалярное и векторное произведение векторовСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Скалярное произведение двух векторов (обозначают также ) есть скаляр (число) = , (4.8) где – угол между векторами и (рис. 4.12). Для острого угла между векторами и их скалярное произведение , а для тупого – . Если они взаимно перпендикулярны (), то . Для коллинеарных векторов и скалярное произведение = , где “+” для однонаправленных векторов, а “–“ ― для противоположно направленных. В частности = , что позволяет записать длину вектора в виде = (отсюда другое название длины вектора – «модуль вектора»). Единичные базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат удовлетворяют соотношениям: , , , . Используя эти соотношения, не трудно получить, что если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их скалярное произведение = . (4.9) Из определения скалярного произведения (4.8) следует, что угол между векторами . (4.10) Свойства скалярного произведения: = ; ; ; ; .
Пример. Вычислить , если , . ◄ Используя свойства скалярного произведения, имеем = = .►
Пример. Даны координаты вершин треугольника на плоскости: , , . Найти угол в треугольнике при вершине и длину стороны . ◄ Проведем из вершины векторы в вершины и (рис. 4.13). Тогда угол при вершине будет равен углу между векторами и , а длина стороны равна длине вектора . Находим координаты векторов: , . Согласно формуле (.10) Длина стороны = = . ►
Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторов и есть третий вектор , модуль которого (т. е. равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ), а направление перпендикулярно к обоим векторам и (т. е. плоскости упомянутого параллелограмма) и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте от к на угол, меньший (рис 4.14). Из этого определения векторного произведения следует, что векторы , и образуют правую систему. Если векторы и коллинеарны (), то =0. Свойства векторного произведения: ; ; ; ; . Базисные единичные векторы декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют следующим соотношениям: ; ; ; . Если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их векторное произведение . (4.11) Смешанным (векторно – скалярным) произведением векторовназывается произведение , результатом которого является скаляр (число). Для компланарных векторов их смешанное произведение . Если векторы , и образуют правую тройку, то , если – левую, то . Смешанное произведение равно объему параллелепипеда , построенного на векторах , и (рис. 4.15), взятому со знаком “+”, если векторы , и образуют правую тройку, и со знаком “–“, если ― левую: . (4.12) Если векторы , и заданы своими декартовыми координатами: , , , то их смешанное произведение (4.13) Пример. Даны координаты вершин треугольника: , , . Найти площадь . ◄ Направим из вершины треугольника векторы в вершины и (рис. 4.16). Учитывая, что площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, площадь которого, в свою очередь, можно выразить через векторное произведение, будем иметь . Находим координаты векторов: , . По формуле (4.11) находим векторное произведение = . Таким образом, (кв. ед.). ►
Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , . ◄ Искомый объем найдем по формуле (4.13). Вычисляем смешанное произведение данных векторов: = . Объем параллелепипеда . ►
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-10; просмотров: 259; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.134.161 (0.006 с.) |