Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть – число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях

.

Приближенная формула

, где

, , (19)

– функция Лапласа или интеграл вероятности

(значения последнего интеграла табулированы и приводятся в справочниках по теории вероятностей), дает хорошее приближение, когда достаточно велико, а и не очень близки к нулю (обычно достаточно выполнение условия >20).

 

Пример. Две симметричные монеты подбрасываются 1000 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что число выпадений двух гербов заключено между 236 и 264.

◄ По условию задачи =1000, (т. к. всего элементарных исходов этого опыта 4, а событию {ГГ} благоприятствует один из них), , . Имеем , , , , . По формуле (19) находим . ►

 

С помощью формулы (19) можно оценить вероятность отклонения () частоты в испытаниях Бернулли от вероятности успеха :

. (20)

Из этой формулы вытекает, что отклонения частоты от вероятности имеют порядок , т. е.

(теорема Бернулли). (21)

Для оценки вероятности того, что отклонение частоты в схеме Бернулли от вероятности не больше, можно использовать неравенство

 

. (22)

Если задать сколь угодно малое число () и найти из равенства , то согласно (22) при с вероятностью, не меньшей , частота будет находиться в пределах .

 

Пример. Сколько раз надо подбросить симметричную монету, чтобы с вероятностью 0,90 частота отличалась от (вероятности выпадения герба) не более чем на 0,01?

◄ Используем формулу (20). По условию задачи , , . Тогда , откуда . Используя таблицу значений функции , получаем и, следовательно, . ►

Тема 15 Случайные величины

 

Лекция 3.15.1 «Случайные величины»

Учебные вопросы:

1. Понятие случайной величины

2. Законы распределения дискретных случайных величин

3. Случайные величины в общей схеме

 

Понятие случайной величины

Случайной величиной называется числовая функция X = X () от элементарных событий . Таким образом, случайная величина определена на множестве элементарных исходов и в зависимости от случая принимает разные числовые значения. Из этого определения случайных величин следует, что на них распространяются все правила действий с обычными функциями: их можно складывать, вычитать, перемножать и т. д.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами.

 

Пример. Пусть множество элементарных исходов состоит из шести равновероятных исходов , = 1, 2,…, 6. Определим на этом множестве следующие случайные величины:

а) Х () = 1, Х () = 2, Х () = 3, Х () = 4, Х () = 5, Х () = 6;

б) Y () = 1, Y () = 0, Y () = 1, Y () = 0, Y () = 1, Y () = 0;

в) Z () = -1, Z () = 1, Z () = -1, Z () = 1, Z () = -1, Z () = 1.

Сумма случайных величин X и Y дает новую случайную величину W, которая определяется из равенства

W () = X () + Y ().

Следовательно,

W () = 2, W () = 2, W () = 4, W () = 4, W () = 6, W () = 6.

Произведение случайных величин Y и Z даст другую новую случайную величину V, определенную равенством

V () = Y () · Z ().

Из этого равенства следует

V () = -1, V () = 0, V ( ) = -1, V () = 0, V () = -1, V () = 0.

 

Пример. В схеме независимых испытаний Бернулли множество состоит из элементарных событий (цепочек) = (, , …, ), где = 1, если при - м испытании произошел успех, и = 0 в случае неудачи. Случайная величина X = X () = + +…+ равна числу успехов при испытаниях в схеме Бернулли.

 

Любую константу С можно рассматривать как частный случай случайной величины X = X () ≡ С. Такие случайные величины называются вырожденными. Простейшими случайными величинами, отличными от вырожденных, являются индикаторы. С каждым событием можно связать случайную величину

= () = 1, если А; = () = 0, если А,

называемую индикатором события А. Индикаторы удовлетворяют следующим легко проверяемым свойствам:

= 0, = 1, = , = 1 – .

Если события и несовместны, то

= + .

Пусть < < … < – всевозможные значения случайной величины X. Из определения случайной величины и основных свойств вероятностей можно найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает свои возможные значения , = 1, 2,…, . Обозначим через событие, состоящее из всех тех элементарных исходов , для которых X () принимает значение : = { | X () = }. Тогда вероятность того, что X примет значение , равна { }. В зависимости от значений событие может оказаться невозможным, состоять из одного исхода, из двух и даже из всего множества элементарных исходов.

В вышеприведенном примере для случайной величины нетрудно получить следующие вероятности ее числовых значений:

{ = 0} = 1/2, { = 1} = 1/2,

а для величины W

{ W = 2} = 1/3, { W = 4} = 1/3, { W = 6} = 1/3.