![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основные операции над матрицамиСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Две матрицы
если
для всех Сумма двух матриц
если
для всех Произведение матрицы
Пример. Даны матрицы ◄ = Вычитание матриц
Произведение матрицы
где
Таким образом, элемент
Пример. Даны матрицы ◄ =
Для операций над матрицами справедливы следующие соотношения (
Тема 2 Определители и их свойства. Обратная матрица
Лекция 1.2.1 «Определители и их свойства. Обратная матрица» Учебные вопросы: 1. Определители и их свойства 2. Ранг матрицы 3. Обратная матрица
Определители и их свойства Определителем (детерминантом) квадратной матрицы называется число, обозначаемое символически
Число Определитель 2-го порядка вычисляется по правилу
Пример.
Определители 3-го и более высокого порядка вычисляются на основе их разложения по строке или столбцу на определители более низкого порядка при использовании общих свойств определителей. Свойства определителей: 1) Величина определителя не меняется при замене строк столбцами и столбцов строками с теми же номерами;
2) Перестановка двух каких-либо строк (столбцов) равносильна умножению определителя на – 1; 3) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Пример. 4) Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю. Пример. 5) Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя. Пример. 6) Если элементы некоторого столбца (или строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых элементы рассматриваемого столбца (строки) равны соответствующим слагаемым. Пример. 7) Если ко всем элементам какого-либо столбца (строки) прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца (строки), то величина определителя не изменится. Пример. Минор Пример. Для определителя
Алгебраическое дополнение
т. е. равно минору этого элемента, взятому со знаком «+», если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых он стоит, есть четное число, и знаком «–», если число нечетное. Пример. Для определителя Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Вычисление определителя на основе теоремы о разложении облегчается, если выбирается стока (или столбец), содержащие нули. Используя свойство 7), можно преобразовать данный определитель так, чтобы все элементы (кроме одного) какой-либо строки (или столбца) стали нулями. Разлагая затем определитель по этой строке (столбцу), сразу уменьшаем его порядок на единицу.
Пример. Вычислить определитель ◄ Разлагаем определитель по 3-му столбцу (через чередование знаков, начиная с верхнего левого элемента, верхними правыми индексами проставлены знаки алгебраических дополнений для элементов этого столбца): Разлагая данный определитель по второй строке, получаем тот же результат: =
Пример. Вычислить определитель ◄ Используем свойство определителей 7). Умножая все элементы 2-й строки последовательно на (–2), (–3) и 2 и прибавляя их затем соответственно к элементам 1-й, 3-й и 4-й строки, получим: =
Ранг матрицы Ранг данной матрицы Ранг матрицы равен наибольшему числу ее линейно независимых строк (или столбцов). Для квадратной матрицы Ранг суммы двух матриц
Пример. Найти ранг матрицы ◄ Ранг этой квадратной матрицы порядка
Пример. Найти ранг матрицы ◄ Ранг этой матрицы В общем случае для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся: 1) перестановка строк матрицы; 2) умножение какой-либо строки на одно и то же отличное от нуля число; 3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на некоторое число. Можно показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали матрицы, то ранг исходной матрицы будет равен числу ненулевых строк преобразованной матрицы. Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
◄ Умножим первую строку матрицы на –2 и прибавим ко второй строке:
Теперь умножим первую строку на –3 и сложим ее с третьей строкой, а затем вычтем из последней строки первую. Имеем
~ Умножая вторую строку получившейся матрицы на –2 и складывая ее с третьей строкой, а затем, складывая вторую строку с последней, получим матрицу ~ Преобразованная матрица имеет две ненулевые строки, следовательно, ранг матрицы А равен двум:
Обратная матрица Квадратная матрица
В противном случае матрица Квадратная матрица
где Квадратная матрица не вырождена в том и только том случае, если ее строки (столбцы) линейно независимы. Строки (столбцы) матрицы линейно независимы, если ни одна строка (столбец) не могут быть выражены в виде линейной комбинации остальных строк (столбцов). В противном случае строки (столбцы) линейно зависимы. Если матрицы
Пример. Дана матрица ◄ Находим определитель матрицы
Следовательно, по формуле (1.1.1)
Проводим проверку полученного результата:
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-10; просмотров: 437; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.12.248 (0.008 с.) |