Основные операции над матрицами

Две матрицы =() и =() равны друг другу, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т. е.

,

если

=

для всех и .

Сумма двух матриц =() и =() размера есть матрица =() размера , у которой элементы являются суммой соответствующих элементов матриц слагаемых, т. е.

,

если

= +

для всех и .

Произведение матрицы =() размера на число есть матрица размера , у которой элементы равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на :

= ()=( ).

Пример. Даны матрицы и . Найти матрицу .

◄ = = =

= = . ►

Вычитание матриц можно выполнять либо вычитанием соответствующих элементов матриц, либо, как в приведенном примере, через прибавление противоположной матрицы – (– ):

= .

Произведение матрицы =() размера на матрицу =() размера есть матрица =() размера

() () (),

где

= .

Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы . В каждом произведении матриц форма матриц и должна быть согласованной: число столбцов матрицы должно равняться числу строк матрицы . Из существования произведения вовсе не следует существование произведения .Если существуют оба произведения и (это, в частности, будет всегда, если и – квадратные матрицы одного порядка), то, вообще говоря, .

 

Пример. Даны матрицы и . Найти .

◄ = =

= = . ►

 

Для операций над матрицами справедливы следующие соотношения

(, – числа, , , – матрицы, – единичная матрица):

, ,

, ,

, ,

, ,

( – квадратная матрица).

 

 

Тема 2 Определители и их свойства. Обратная матрица

 

Лекция 1.2.1 «Определители и их свойства. Обратная матрица»

Учебные вопросы:

1. Определители и их свойства

2. Ранг матрицы

3. Обратная матрица

 

Определители и их свойства

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы

называется число, обозначаемое символически

.

Число есть порядок определителя.

Определитель 2-го порядка вычисляется по правилу

.

 

Пример. .

 

Определители 3-го и более высокого порядка вычисляются на основе их разложения по строке или столбцу на определители более низкого порядка при использовании общих свойств определителей.

Свойства определителей:

1) Величина определителя не меняется при замене строк столбцами и столбцов строками с теми же номерами;

2) Перестановка двух каких-либо строк (столбцов) равносильна умножению определителя на – 1;

3) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Пример. , т. к. элементы 3-го столбца пропорциональны соответствующим элементам 2-го с коэффициентом пропорциональности – 3.

4) Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.

Пример. .

5) Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя.

Пример. .

6) Если элементы некоторого столбца (или строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых элементы рассматриваемого столбца (строки) равны соответствующим слагаемым.

Пример. .

7) Если ко всем элементам какого-либо столбца (строки) прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца (строки), то величина определителя не изменится.

Пример. (к элементам 1-го столбца прибавлены соответствующие элементы 2-го, умноженные на 2.

Минор элемента в определителе -го порядка есть определитель ()-го порядка, получающийся из данного определителя, если из него вычеркнуть -ю строку и -й столбец.

Пример. Для определителя минор элемента есть , а элемента — .

 

Алгебраическое дополнение элемента есть

= ,

т. е. равно минору этого элемента, взятому со знаком «+», если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых он стоит, есть четное число, и знаком «–», если число нечетное.

Пример. Для определителя алгебраическое дополнение элемента есть , а элемента — .

Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Вычисление определителя на основе теоремы о разложении облегчается, если выбирается стока (или столбец), содержащие нули. Используя свойство 7), можно преобразовать данный определитель так, чтобы все элементы (кроме одного) какой-либо строки (или столбца) стали нулями. Разлагая затем определитель по этой строке (столбцу), сразу уменьшаем его порядок на единицу.

Пример. Вычислить определитель .

◄ Разлагаем определитель по 3-му столбцу (через чередование знаков, начиная с верхнего левого элемента, верхними правыми индексами проставлены знаки алгебраических дополнений для элементов этого столбца): .

Разлагая данный определитель по второй строке, получаем тот же результат:

= . ►

 

Пример. Вычислить определитель .

◄ Используем свойство определителей 7). Умножая все элементы 2-й строки последовательно на (–2), (–3) и 2 и прибавляя их затем соответственно к элементам 1-й, 3-й и 4-й строки, получим: = = (умножаем элементы 1-й строки последовательно на (–2) и (–11) и прибавляем их затем соответственно к элементам 2-й и 3-й строки) =

= . ►

 

Ранг матрицы

Ранг данной матрицы есть такое число , что по крайней мере один определитель - го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении некоторых строк и/или столбцов, отличен от нуля, а все определители - го порядка равны нулю.

Ранг матрицы равен наибольшему числу ее линейно независимых строк (или столбцов).

Для квадратной матрицы порядка ее ранг удовлетворяет соотношению . Эта матрица является невырожденной в том и только в том случае, если ее ранг , т. е. . Если же , то матрица является вырожденной.

Ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов:

.

 

Пример. Найти ранг матрицы .

◄ Ранг этой квадратной матрицы порядка удовлетворяет соотношению . Единственный определитель 3-го порядка, получаемый из этой матрицы . Ранг данной матрицы , т. к. по крайней мере один определитель 2-го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении 3-й строки и 3-го столбца, . ►

 

Пример. Найти ранг матрицы .

◄ Ранг этой матрицы , т. к. из данной матрицы можно получить определители порядка не выше 2-го. Легко убедиться, что все три определителя 2-го порядка, которые можно получить из этой матрицы удалением поочередно его столбцов, равны нулю. Отсюда следует, что ранг данной матрицы (каждый элемент матриц представляет собой определитель 1-го порядка). Уменьшение ранга этой матрицы по отношению к максимально возможному обусловлено тем, что у нее строки и столбцы линейно зависимы (второй и третий столбец получаются из соответствующих элементов первого их умножением на 2 и 3, соответственно; вторая строка получается из первой, умножением ее элементов на 3). ►

В общем случае для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся:

1) перестановка строк матрицы;

2) умножение какой-либо строки на одно и то же отличное от нуля число;

3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на некоторое число.

Можно показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали матрицы, то ранг исходной матрицы будет равен числу ненулевых строк преобразованной матрицы.

Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

.

◄ Умножим первую строку матрицы на –2 и прибавим ко второй строке:

~ ~.

Теперь умножим первую строку на –3 и сложим ее с третьей строкой, а затем вычтем из последней строки первую. Имеем

~ ~.

Умножая вторую строку получившейся матрицы на –2 и складывая ее с третьей строкой, а затем, складывая вторую строку с последней, получим матрицу

~ .

Преобразованная матрица имеет две ненулевые строки, следовательно, ранг матрицы А равен двум: . ►

 

Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если она имеет (необходимо единственную) обратную матрицу , определяемую условиями

.

В противном случае матрица – вырожденная.

Квадратная матрица =() порядка является невырожденной в том и только в том случае, если ее определитель ; в этом случае обратная матрица есть квадратная матрица того же порядка :

, (1.1.1)

где – алгебраические дополнения элементов в определителе .

Квадратная матрица не вырождена в том и только том случае, если ее строки (столбцы) линейно независимы. Строки (столбцы) матрицы линейно независимы, если ни одна строка (столбец) не могут быть выражены в виде линейной комбинации остальных строк (столбцов). В противном случае строки (столбцы) линейно зависимы.

Если матрицы и не вырождены и число , то

, , .

Пример. Дана матрица . Найти обратную матрицу .

◄ Находим определитель матрицы . Т. к. , делаем вывод, что матрица не вырождена и, следовательно, имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы:

, , ,

, , ,

, , .

Следовательно, по формуле (1.1.1)

.

Проводим проверку полученного результата:

. Делаем вывод, что результат правильный. ►