Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы

Кривые второго порядка определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно и имеет вид:

. (5.17)

Для любого уравнения (5.17) три величины

, , (5.18)

сохраняются при переносе и повороте осей координат (являются инвариантами). Эти инварианты определяют свойства кривой второго порядка, не зависящие от ее положения на плоскости.

Классификация кривых второго порядка, основанная на их инвариантах:

1) эллипс при , ;

2) окружность при , , или , ;

3) точка (эллипс, выродившийся в точку) при , ;

4) ни одной действительной точки при , ;

5) гипербола при ;

6) пара пересекающихся прямых (выродившаяся гипербола) при , ;

7) парабола при ;

8) пара параллельных прямых или одна прямая (пара совпавших прямых) или ни одной действительной точки при , .

Таким образом, уравнение (5.17) может задавать эллипс (частный случай – окружность), гиперболу, параболу (невырожденные кривые второго порядка) или пустое множество точек, одну точку, одну прямую, пару прямых (вырожденные кривые).

Уравнение кривой второго порядка подходящим переносом начала отсчета и поворотом осей координат может быть приведено к каноническому (или стандартному) виду.

Эллипс – геометрическое место точек (ГМТ), сумма расстояний которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная. Если оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии эллипса (рис. 5.12), то его уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение эллипса):

, (5.19)

где – фиксированная сумма расстояний фокусов и до любой точки эллипса (см. рис. 5.12), – расстояние между фокусами (фокусное расстояние), . Отрезки и , отсекаемые эллипсом на его осях симметрии, есть длины большой и малой осей эллипса, точки , , и – вершины эллипса, точка – его центр. Величина называется эксцентриситетом эллипса, а – коэффициентом сжатия эллипса.

Эллипс, центр которого не совпадает с началом координат, но большая и малая оси которого параллельны соответственно осям координат и , задается общим уравнением (5.17), в котором и ( и одного знака).

Если эксцентриситет (оба фокуса находятся в начале координат, т. е. и, следовательно, ), имеем частный случай эллипса – окружность радиуса . Общее уравнение (5.17) при задает окружность, если и . Общее уравнение окружности радиуса можно привести к виду:

,

где точка – центр окружности.

 

Пример. Записать каноническое уравнение эллипса, если сумма расстояний произвольной его точки до фокусов равна 10, а фокусное расстояние равно 8.

◄ По условиям , . Находим . Подставляя найденные значения и в (5.19), получаем искомое каноническое уравнение эллипса: . ►

Гипербола – ГМТ, абсолютное значение разности расстояний которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная. Если оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии гиперболы (рис. 5.13), то ее уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение гиперболы):

 

, (5.20)

где – фиксированная абсолютная величина разности расстояний фокусов и до любой точки гиперболы (см. рис. 5.13), – расстояние между фокусами (фокусное расстояние), . Отрезок, отсекаемый левой и правой ветвями гиперболы на оси , есть длина действительной оси гиперболы, равная , точки , – вершины гиперболы. Мнимой осью называется ось (ось ), перпендикулярная к действительной оси (ось ). Две прямые, проходящие по диагоналям прямоугольника со сторонами и с центром в центре гиперболы (начале координат) (см. рис. 5.13), являются асимптотами гиперболы. С этими прямыми гипербола неограниченно сближается при неограниченном возрастании абсолютной величины координаты точки гиперболы. Уравнения асимптот гиперболы и . Вершины гиперболы касаются вертикальных противоположных сторон прямоугольника.

Гипербола, центр которой не совпадает с началом координат, но действительная и мнимая оси которой параллельны соответственно осям координат и , задается общим уравнением (5.17), в котором и ( и разных знаков).

Уравнение задает на плоскости гиперболу, сопряженную к гиперболе, уравнение которой имеет вид (5.20). На рис. 5.14 представлены такие сопряженные гиперболы.

 

Пример. Гипербола задана каноническим уравнением . Найти ее фокусное расстояние и расстояние между вершинами (длину действительной оси).

◄ Из уравнения имеем , . Для гиперболы , отсюда для фокусного расстояния будем иметь . Расстояние между вершинами гиперболы равно . ►

 

Гипербола – ГМТ, равноудаленных от данной точки плоскости , называемой фокусом, и данной прямой , называемой директрисой

(, см. рис. 5.15). В системе координат, центр которой совмещен с вершиной параболы, а ось направлена по оси параболы (рис. 5.15), ее уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение параболы):

, (5.21)

где – параметр параболы.

Парабола, вершина которой не совпадает с началом координат, но ось которой параллельна оси координат , задается общим уравнением (5.17), в котором и либо либо .

 

Пример. Парабола задана уравнением . Найти параметр параболы .

◄ Заменой данное уравнение приводится к каноническому виду , отсюда имеем . Замена соответствует преобразованию исходной системы координат. Рис. 5.15 позволяет легко понять, что в исходной системе, в которой уравнение имеет вид , ветви параболы направлены вверх (по оси ), ее фокус находится на оси на расстоянии от начала координат, директриса параллельна оси , находясь от нее также на расстоянии ►

 

2. Преобразования декартовой системы координат на плоскости

Если общее уравнение (5.17) задает невырожденную кривую второго порядка, то оно может быть приведено к каноническому виду введением новой системы декартовой координат, совершив поворот осей на определенный угол и подходящий перенос начала.

При переносе начала координат (параллельный перенос осей) координаты точки плоскости в исходной системе координат (старой) и координаты этой же точки в преобразованной системе (новой) связаны следующими формулами преобразования:

(5.22)

где – координаты нового начала относительно исходной системы (рис. 5.16). Формулы преобразования (5.22) справедливы, только если на осях обеих систем выбраны одинаковые единицы масштаба.

Если в общем уравнении кривой второго порядка (5.17) коэффициент при произведении координат равен нулю

(), то оси исходной системы координат параллельны осям симметрии этой кривой, и для приведения уравнения к каноническому виду необходимо только произвести подходящий параллельный перенос осей в новое начало. Это можно сделать выделением в уравнении полных квадратов и с последующим переносом начала координат в точку по формулам преобразования (5.22).

 

Пример. Привести уравнение к каноническому виду и построить задаваемую этим уравнением кривую.

◄ В данном уравнении коэффициенты , , следовательно, оно может задавать окружность. Выделяем в уравнении полные квадраты: . Заменой , приводим уравнение к каноническому виду , которое задает на плоскости окружность радиуса . Центр этой окружности находится в начале новой системы координат , а в исходной системе этот центр находится в точке с координатами (рис. 5.17). Окружность касается оси в точке . Точки пересечения окружности с осью получим, положив в исходном уравнении и решив получающееся квадратное уравнение : , ►

Если в общем уравнении кривой второго порядка (5.17) коэффициент при не равен нулю, то оси координат не параллельны осям симметрии кривой второго порядка. Для того чтобы сделать эти оси параллельными, необходимо повернуть оси координат на угол , который равен в исходной системе координат углу между положительным направлением оси и каждой из осей симметрии кривой. Этот угол определяется формулой

. (5.23)

При повороте осей (рис. 5.18) координаты точки плоскости в преобразованной системе координат (новой) и координаты этой же точки в исходной системе (старой) связаны следующими формулами преобразования:

(5.24)

Обратное преобразование имеет вид:

(5.25)

Если ввести матрицы , , , то преобразование (5.24) можно записать в матричной форме:

Обратное преобразование (5.25) в матричной форме будет иметь вид:

,

где – матрица, обратная матрице .

 

Пример. Построить кривую, заданную уравнением .

◄ Для данного уравнения второго порядка коэффициенты (см. 5.17) , , все остальные равны нулю. Находим инварианты кривой: , , . Так как , , , делаем вывод, что данное уравнение задает гиперболу, оси симметрии которой не параллельны осям координат, и для приведения уравнения к каноническому виду необходим поворот осей координат. Необходимый угол поворота определяем по формуле (5.23). Так как , знаменатель дроби в этой формуле обращается в нуль, следовательно, . При повороте осей координат на угол переход от старых координат к новым будет задаваться согласно (5.25) следующими формулами преобразования:

Заменяя в исходном уравнении старые координаты на новые, будем иметь:

. Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы в повернутой системе координат. Для этой гиперболы , , половина фокусного расстояния . На рис. 5.19 представлены старая и новая система координат с построенной в ней по каноническому уравнению гиперболой. ►