Тема 14 Основные теоремы и формулы теории вероятностей

 

Лекция 3.14.1 «Условные вероятности. Вероятности сложных событий»

Учебные вопросы:

1. Условные вероятности. Независимость событий. Формулы умножения и сложения вероятностей

2. Формула полной вероятности

3. Формула Байеса

 

Условные вероятности. Независимость событий. Формулы умножения и сложения вероятностей

Условные вероятности.

Аксиоматически определенную выше вероятность можно назвать безусловной вероятностью, подчеркивая этим, что она не зависит ни от каких дополнительных условий, кроме фиксированного комплекса условий , которым характеризуется опыт.

Пусть в опыте, соответствующему некоторому комплексу условий, могут произойти случайные события и . Допустим также, что стало известно, что осуществилось событие . Эта новая информация равносильна дополнительному условию, накладываемому на опыт и адекватному осуществлению события . В изменившемся комплексе условий опыта изменится и вероятностное распределение на его поле событий.

Пусть . Условная вероятность наступления события при условии, что событие произошло в результате данного опыта, определяется следующей аксиомой:

. (4)

Условную вероятность для краткости называют «вероятность события при условии ». При условная вероятность не определена.

 

Пример. При бросании правильной игральной кости стало известно, что выпало четное число очков. Какова вероятность того, что выпала: а) двойка; б) пятерка?

◄ Исходное множество элементарных исходов для данного опыта , где {число выпавших очков равно }, содержит исходов. Три из них благоприятствуют событию ={выпало четное число очков}, один исход благоприятствует событию , где ={выпала двойка}. Число исходов, благоприятствующих событию , где ={выпала пятерка}, равно нулю. По формуле (4) получаем: , . ►

 

На практике для вычисления условной вероятности часто применяется метод вспомогательного эксперимента, при котором формулируется новый опыт, соответствующий комплексу условий . В этом новом комплексе условий получают соответствующее ему множество элементарных исходов . Безусловная вероятность осуществления события в этом новом опыте и принимается за условную вероятность . Этот метод обычно применяется в тех случаях, когда вероятностное пространство для вспомогательного опыта строится проще, чем для исходного.

 

Пример. В условиях предыдущего примера новым множеством исходов будет . Один из этих исходов благоприятствует событию ={выпала двойка}, событию же ={выпала пятерка} – ни один. По формуле классической вероятности получаем , .

 

Независимость событий

Понятие условной вероятности позволяет в свою очередь ввести в математической модели понятие независимости. Будем считать, что событие не зависит от события , если выполняется равенство

. (5)

Если , то из равенств (74) и (5) следует, что , т. е. независимость является взаимным свойством: если не зависит от события , то и не зависит от события . Более удобным определением независимости по сравнению с (5) является следующее.

События и называются независимыми, если

. (6)

События называются взаимно независимыми (или независимыми в совокупности, или просто независимыми), если для любого набора из событий ( =2, 3, …, ) выполняется равенство

, . (7)

Если (7) выполняется только при =2, то события называют попарнонезависимыми. Отметим, что из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Формулы (6) и (7) позволяют выделять независимые события в тех случаях, когда построена формализованная вероятностная модель случайного опыта и вероятности всех рассматриваемых событий определены. Однако далеко не всегда события, независимые в таком теоретико-вероятностном смысле, являются независимыми и в реальности. На практике в любых сомнительных случаях обычно стараются принять меры для объективной проверки гипотезы о независимости событий, основываясь на теоретико-вероятностной независимости, введенной равенствами (6) и (7), с причинной независимостью реальных событий. Решение подобных задач, основанное на применении методов проверки статистических гипотез, рассматривается в математической статистике.

 

Пример. В группе 25 студентов. Из них 10 человек курят, 13 носят очки, а 8 и курят и носят очки. Наудачу выбирается один студент. События: ={выбранный студент курит}, ={выбранный студент носит очки}. Установить, зависимы или нет события и .

◄ Так как , т. е. условие (6) независимости не выполняется, делаем вывод, что события и зависимы.

Необходимо отметить, что полученный вывод справедлив лишь для данного частного эксперимента, и следует остерегаться распространять его на всех студентов вообще. Хотя гипотеза о зависимости между курением и состоянием зрения кажется разумной, для ее подтверждения необходимо было бы провести статистическое обследование всех студентов на определенной территории, которое включало бы проверку зрения у каждого и регистрацию длительности и интенсивности курения для тех, кто курит. Полученные статистические данные позволили бы на основе определенного критерия подтвердить либо отвергнуть наличие статистической зависимости между курением и состоянием зрения в той группе населения, которую составляют студенты. ►

 

Вероятности сложных событий

Сложным событием называется наблюдаемое событие, выраженное через другие наблюдаемые в том же опыте события с помощью допустимых алгебраических операций.

Записав равенство (4) в виде

, (8)

получаем так называемую формулу умножения вероятностей. Если оба события и обладают ненулевой вероятностью, то формула умножения может быть записана двояким образом:

. (9)

Формула (9) позволяет находить вероятности совместного наступления событий и в тех случаях, когда условная вероятность известна из дополнительных опытов или определена методом вспомогательного эксперимента.

Из (9) по индукции нетрудно получается формула умножения для произвольного числа событий:

. (10)

Для вероятности наступления хотя бы одного из двух событий и справедлива следующая формула сложения вероятностей:

. (11)

Если события независимы в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них проще вычисляется не по формуле сложения, а с помощью формулы умножения:

. (12)

 

Пример. В продукции предприятия брак составляет 5% от общего объема выпускаемых изделий. Для контроля качества случайно отобрано 20 изделий. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одно бракованное.

◄ Обозначим через события ={ - ое по счету отобранное изделие бракованное}, 1, 2, …, 20. По условию вероятность того, что изделие в продукции предприятия является бракованным, равна . Очевидно, что нас интересует событие . В условиях стабильного технологического процесса производства можно считать, что события независимы в совокупности. Учитывая, что , по формуле (12) получаем ►

 

Формула полной вероятности

Пусть – наблюдаемые события для данного опыта, причем система множеств { } образует разбиение множества элементарных исходов этого опыта, т. е. выполняются следующие условия: , при любых , 1, 2, …, . Для любого наблюдаемого в опыте события имеет место следующая формула (формула полной вероятности):

. (13)

События принято называть гипотезами по отношению к событию . Безусловные вероятности , для которых должно выполняться равенство , трактуются как априорные (доопытные) вероятности гипотез. Для вычисления вероятности интересующего нас события по формуле (13) важно удачно подобрать набор гипотез. Если зависимость события от гипотез неясна и условные вероятности не могут быть просто вычислены, то такое разбиение не принесет практической пользы при решении задачи.

 

Пример. Партия изделий, среди которых 5% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект (если он есть) и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что годное изделие будет признано дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранное из партии изделие будет признано дефектным.

◄ Нас интересует событие ={случайно выбранное изделие признано дефектным}. С этим событием тесно связаны две гипотезы: ={поступившее на проверку изделие дефектно}, ={поступившее на проверку изделие годно}. Безусловные априорные вероятности этих гипотез равны , . Условные вероятности заданы в условии задачи: , . По формуле полной вероятности получаем . ►

 

Формула полной вероятности

Пусть { } – разбиение множества элементарных исходов для данного опыта, интерпретируемое как совокупность гипотез по отношению к интересующему нас событию . Пусть опыт проведен, и стало известно, что событие осуществилось, Какова апостериорная (послеопытная) вероятность наступления гипотезы при условии, что событие имело место? Ответ дается формулой Байеса:

, (14)

которая является следствием формулы полной вероятности (13).

Формулу Байеса иногда называют формулой гипотез. Она позволяет «переоценить» вероятность каждой из гипотез после поступления новой информации относительно наступления тех или иных наблюдаемых событий. Формула Байеса может служить также для принятия решений в тех случаях, когда гипотезы непосредственно не наблюдаемы, хотя априорные вероятности и соответствующие условные вероятности , =1, 2, …, известны из дополнительных опытов.

 

Пример. В условиях предыдущего примера случайно выбранное из партии изделие было признано дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле изделие годно?

◄ В обозначениях предыдущего примера требуется найти (апостериорную условную вероятность гипотезы ). По формуле Байеса имеем . Таким образом, апостериорная условная вероятность того, что изделие на самом деле годное, если известно, что оно было признано дефектным, существенно меньше априорной вероятности гипотезы , что явилось следствием поступившей информации. ►

 

Пример. Из урны, содержащей 4 белых и 9 черных шаров, один шар неизвестного цвета был утерян. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны после утери, окажется белым? Какова вероятность того, что утерян черный шар, если после утери извлечен белый шар?

◄ Нас интересует событие ={шар, извлеченный из оставшихся шаров, белый}. Выберем следующие гипотезы: ={утерян белый шар}, ={утерян черный шар}. В силу формулы классической вероятности , , , . По формуле полной . Отметим, что вероятность извлечения белого шара из урны до утери также равна . Для нахождения апостериорной условной вероятности гипотезы используем формулу Байеса: .►

Лекция 3.14.2 «Последовательность испытаний»

Учебные вопросы:

1. Последовательность испытаний

2. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли

3. Предельные теоремы в схеме Бернулли