Наиболее распространенные законы распределения дискретных случайных величин

Приведем некоторые часто встречающиеся в вероятностных моделях законы распределения дискретных случайных величин.

1^○. Биномиальный закон для числа успехов при независимых испытаниях в схеме Бернулли

{ X = } = , = 0, 1, …, n, (1)

 

где – параметр распределения, равный вероятности наступления успеха в каждом отдельном испытании. Соответствующее этой формуле Бернулли распределение случайной величины называется биномиальным распределением (или распределением Бернулли). Для краткости говорят, что распределено по закону .

Основные характеристики биномиального распределения:

m_X = np, = npq, a_X = , e_X = .

 

Пример. Вероятности рождения девочки и мальчика в первом приближении можно считать равными 0,5. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных новорожденных будет хотя бы один мальчик (событие ); число мальчиков и девочек одинаково (событие ); мальчиков будет больше, чем девочек (событие )? Получить числовые значения искомых вероятностей для = 10.

◄ Пусть Х – число мальчиков среди новорожденных. Случайная величина Х подчиняется распределению , т.е. согласно формуле (1)

{ X = k } = , k = 0,1,…, .

Вероятность события проще всего найти, перейдя к противоположному событию:

() = 1 - () = 1 - { X = 0} = 1 - .

Вероятность события записывается непосредственно:

() = { X = n } = .

Для подсчета вероятности события заметим, что распределение Бернулли симметрично относительно значения . Действительно:

{ X = } = Р_{2n, n-k} = = Р_{2n, n+k} = { X = }

для всех k =1, 2,…, . Кроме того, нетрудно проверить, что это значение является наиболее вероятным, т.е. мода распределения d_X = . В силу симметрии распределения выполняется равенство { X > } = { X < } =

= (1 - { X = }). Таким образом, () = (1 - ).

Найдем числовые значения полученных вероятностей при = 10:

() = 1 – = 0,9990, () = = 0,2461,

() = (1 - ()) = 0,3770. ►

 

 

2. Равномерное распределение на {1, 2, …, N }:

{ X = } = , = 0, 1,…, N. (2)

3. Распределение Пуассона. Случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона с параметром > 0, если ее возможные значения равны 0, 1, 2,..., а соответствующие вероятности определяются формулой

(3)

Характерной особенностью распределения Пуассона является совпаде­ние математического ожидания и дисперсии, причем

Распределение Пуассона может быть получено из биномиального распределения путем предельного перехода при при условии и в этом случае интерпретируется как закон «редких» явлений. Если достаточно велико, а мало, то, как уже отмечалось ранее, формулу Пуассона (3) можно использовать в качестве приближения вместо точной биномиальной формулы для нахождения вероятностей успехов при независимых испытаниях.

 

Пример. На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того,что 1 сентября является днем рождения одновременно для студентов данного факультета? Вычислить указанную вероят­ность для значений = 0, 1, 2, 3.

◄ Так как = 500 >> 1 и = {родиться 1 сентября любому из студентов факультета} = << 1, то можно считать, что случайное число студентов X, родившихся 1 сентября, подчиняется закону распределения Пуассона с параметром = 1,36986. Поэтому по формуле (3) Далее находим рекуррентно:

Значения искомых вероятностей, соответствующих биномиальному распределению и вычисленных с четырьмя верными знаками после запятой, таковы: ►

 

5. Геометрическое распределение зависит от параметра (0 < < 1) и определяется вероятностями

 

{ X = } = , = 0, 1, 2 …, = 1 – . (4)

В этом случае также выполнено условие = 1.

 

Пример. Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Найти математическое ожидание числа произведенных выстрелов, считая, что стрелять можно неограниченное число раз. Вычислить указанную величину при .

◄ Для случайного числа произведенных выстрелов ряд распределения имеет вид

				…
				…

Из этого ряда видно, что имеет геометрическое распределение. Математическое ожидание находим по формуле для случая дискретной величины: = = = = = = = = . При имеем , т.е. среднее число выстрелов до первого попадания при данной вероятности попадания при каждом выстреле будет равно пяти. ►