Числовые характеристики некоторых случайных величин

 

Числовые характеристики распределения вероятностей полезны тем, что помогают составить наглядное представление об этом распределении.

Пусть Х₁, Х₂, …., Х_n - взаимно независимые, одинаково распределенные случайные величины, а следовательно, одинаковы и их числовые характеристики. Обозначим среднее арифметическое этих величин через .

Тогда справедливы следующие предложения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию a каждой из величин, то есть

М() = a.

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин

D() = D/n. (*)

Для среднего квадратического отклонения имеет место

,

. (**)

Так как D и s служат мерами рассеяния случайной величины, то из (*) и (**) следует, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

Более общими характеристиками случайных величин являются так называемые начальные и центральные теоретические моменты различных порядков.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^k, то есть

. (7)

В частности, при k = 1 получаем математическое ожидание

.

С помощью моментов первого и второго порядков можно получить следующую формулу для дисперсии

.

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание отклонения степени k

. (8)

В частности,

,

.

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулу

,

,

.

Докажем, например, второе соотношение. По определению

.

Используя свойства математического ожидания и учитывая, что М(Х) есть постоянная величина, получим

.

Упражнения

 

1. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90 %, а на втором – 80 %. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

2. Среди купленных семи билетов – три билета в партер. Наудачу взяли 4 билета. Составить закон распределения числа билетов в партер среди взятых. Найти функцию распределения этой случайной величины.

3. В коробке среди пяти деталей – две окрашенные. Детали извлекаются последовательно до появления обеих окрашенных деталей, после чего извлечения прекращаются. Составить закон распределения случайной величины Х – числа извлеченных деталей. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины.

4. Закон распределения случайной величины имеет вид

Х 1 2

Р 0,3 0,7

Случайная величина Y биноминального распределения с параметрами n = 2, p = 0,4. Составить закон распределения случайной величины , полагая, что X и Y – независимы. Проверить выполнение свойства дисперсии

5. Имеется пять ключей из которых два подходят к замку. Составить закон распределения числа Х проб при открывании замка, если использованный ключ в последующих пробах не участвует. Найти функцию распределения случайной величины Х, её математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

6. При первичной поломке прибора, которая возможна с вероятностью 0,2, прибор ремонтируется. При вторичной поломке, происходящей с вероятностью 0,5, прибор снимается с испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа приборов, снятых с испытаний из трех проверяемых. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7. Полоса препятствий некоторых соревнований содержит три рубежа различной сложности. Спортсмен преодолевает эти рубежи без штрафных очков с вероятностями 0,8, 0,6, 0,4 соответственно. Составить закон распределения случайной величины Х – числа рубежей полосы препятствий, пройденных без штрафных очков. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой величины.

8. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0,8, а с каждым следующим выстрелом она уменьшается на 0,1. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

9. Лампочки елочной гирлянды соединены последовательно. Одна из них перегорела. Составить закон распределения числа проверенных лампочек до обнаружения перегоревшей, если в гирлянде 8 лампочек. Найти дисперсию этой случайной величины.

10. В ящике из 12 деталей – 8 окрашенных. Составить закон распределения случайной величины Х – числа окрашенных деталей среди четырех извлеченных, если после регистрации наличия (или отсутствия) окрашенности очередной извлеченной детали последняя возвращается назад в ящик.

11. Дискретная случайная величина Х принимает два значения: , причём . Известны: . Найти закон распределения случайной величины Х.

12. Два товароведа проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85 %, вторым – 90 %. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти математическое ожидание и дисперсию числа готовых изделий среди отобранных.

13. В магазин поступили электролампы с трех заводов в пропорции 2:3:5. Доля брака в продукции первого завода – 5 %, второго – 2 %, третьего – 3 %. Покупатель приобрел 3 лампочки. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди купленных.

14. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,6, а вероятность того, что второй – 0,8. Случайная величина Х – число покупок, сделанных покупателями. Найти функцию распределения случайной величины.

15. Партия содержит 20 телевизоров, среди которых шесть с дефектом. Купили два телевизора. Составить закон распределения исправных телевизоров.

16. Имеется 4 различных ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей, если опробованный ключ в дальнейшем не участвует в испытаниях.

17. Два баскетболиста по очереди забрасывают мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске для первого 0,8, для второго – 0,7. Всего производится пять бросков. Составить закон распределения числа попаданий для каждого игрока, если начинает бросать первый баскетболист, а также закон распределения общего числа попаданий.

18. Вероятность того, что денежный автомат при опускании монеты сработает правильно, равна 0,97. Составить закон распределения числа опусканий монет в автомат до первого правильного срабатывания автомата.

19. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равном 0,7. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

20. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число попаданий в мишень при четырех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Вычислить её математическое ожидание и дисперсию, пользуясь только их определениями, а результаты проверить по формулам этих характеристик для случайной величины, распределенной по биноминальному закону.

Закон больших чисел

 

 

Громадный опыт, накопленный человечеством за многовековую историю существования, дает основание принять в практической деятельности следующий принцип.