Подчеркнем, что порядок событий безразличен.

Пример 1. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Решение. Вероятность того, что первым будет отобран мужчина (событие А) равна

Р(А) = .

Вероятность того, что вторым отобран мужчина (событие В), при условии, что первым уже был отобран мужчина, то есть условная вероятность события В равна

Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, то есть условная вероятность события С

Р_АВ(С) = .

Искомая вероятность

Определение. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности

. (*)

Из (12), с учетом (*), следует

Р_В(А) = Р(А). (**)

Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В. Иными словами, свойство независимости и зависимости взаимно.

Для независимых событий (11) принимает вид

Р(АВ) = Р(А) × Р(В). (***)

Равенство (***) может служить определением независимых событий, то есть два события А и В называются независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

События А₁, А₂, А₃, …, А_n называются попарно независимыми, если любые два из них независимы между собой.

События А₁, А₂, А₃, …, А_n называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий (одного или нескольких в любой комбинации и в любом числе).

Независимость событий в совокупности является более сильным требованием, чем их попарная независимость.

Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению их вероятностей, то есть формула (13) принимает вид

Р(А₁ А₂ … А_n) = Р(А₁) × Р(А₂) … Р(А_n). (14)

Заметим, что если события А₁, А₂, …, А_n независимы в совокупности, то и противоположные события также независимы в совокупности.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р(А) = 1 – q₁q₂ … q_n. (15)

 

Доказательство. Если А, событие состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n, то события А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, то есть

Р(А) + Р() = 1

или

Р(А) = 1 – Р().

 

Пользуясь теоремой умножения, получим

 

Р(А) = 1 - _.

Если

то

 

тогда (15) примет вид

Р(А) = 1 - . (16)

 

Следствия теорем сложения и умножения

 

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (17)

При использовании формулы (17) следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × Р(В).

Для зависимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × Р_А(В).

Если события А и В несовместны, то Р(АВ) = 0 и (17) примет вид

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Таким образом, формула (17) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

 

Пример 2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,75, вторым стрелком - 0,8, третьим стрелком - 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Решение. Р(А) = 0,75, Р(В) = 0,8, Р(С) = 0,9.

Р(АВС) = Р(А) × Р(В) × Р(С) = 0,75 × 0,8 × 0,9 = 0,54.

Пример 3. Вероятности появления каждого их трех независимых событий А₁, А₂, А₃ соответственно равны р₁, р₂, р₃. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение. Заметим, что, например, появление только первого события А₁ равносильно появлению события (появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения:

В₁ - появилось только событие А₁, то есть В₁ = ;

В₂ - появилось только событие А₂, то есть В₂ = ;

В₃ - появилось только событие А₃, то есть В₃ = .

Таким образом, надо найти вероятность события В₁ + В₂ + В₃, то есть вероятность появления одного, безразлично какого, из событий В₁, В₂, В₃. Так как события В₁, В₂, В₃ несовместны, то применима теорема сложения

Р(В₁ + В₂ + В₃) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃). (*)

 

Остается найти вероятности каждого из событий В₁, В₂, В₃.

События А₁, А₂, А₃ независимы, следовательно, независимы события поэтому применима теорема умножения

Р(В₁) = Р () = Р( р₁q₂q₃.

Аналогично

Р(В₂) = Р() = Р( q₁p₂q₃;

 

Р(В₃) = Р() = Р( q₁q₂p₃.

 

Подставив эти вероятности в (*), найдём искомую вероятность

 

Р(В₁ + В₂ + В₃) = р₁q₁q₃ + q₁p₂q₃ + q₁q₂p₃.

 

Пример 4. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р₁ = 0,8, р₂ = 0,7, р₃ = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия) и А₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂ и А₃ (то есть вероятности промахов), соответственно равны

 

q₁ = 1 - p₁ = 0,2, q₂ = 1 - p₂ = 0,3, q₃ = 1 - p₃ = 0,1.

 

Искомая вероятность

Р(А) = 1 - q₁q₂q₃ = 1 - 0,2 × 0,3 × 0,1 = 0,994.

 

Пример 5. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании, (вероятность появления события в одном испытании постоянна).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (16)

Р(А) = 1 - .

 

По условию, Р(А) = 0,936; n = 3. Следовательно,

 

0,936 = 1 - q³ или q³ = 1 - 0,936 = 0,064.

 

Отсюда q =

Искомая вероятность

p = 1 - q = 1 - 0,4 = 0,6.