Плотность распределения и её свойства

 

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью другой функции, называемой плотностью распределения или плотностью вероятности.

По определению плотность вероятности f(x) равна первой производной от функции распределения F(x), то есть

. (*)

Из (*) следует, что F(x) есть первообразная для f(x).

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу, по формуле

. (2)

При известной плотности распределения f(x) можно найти функцию распределения F(x) по формуле

. (3)

Плотность вероятности f(x) обладает следующими свойствами:

1. f(x) - неотрицательная функция, то есть

.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -¥ до ¥ равен единице

.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то последнее равенство можно записать в виде

.

 

Определение 1. Модой непрерывной случайной величины Х называется то её значение, при котором плотность распределения максимальна.

Моду принято обозначать символом М. На рис. 4 показана мода для непрерывной случайной величины.

Рис. 4.

 

Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется «полимодальным» (рис. 5).

 

 

Рис. 5.

 

Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом (рис. 6). Такие распределения называются «антимодальными».

 

Рис. 6.

В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным (т.е. имеет моду) и существует математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения.

Определение 2. Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.

.

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (рис. 7).

 

Рис. 7.

 

В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой (рис. 8).

 

 

Рис. 8.

 

Пример 1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Найти f(x).

Решение. Так как , то

Заметим, что при х = 0 производная не существует.

Пример 2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

Найти F(x).

Решение.

Воспользуемся формулой (3). Если , то f(x) = 0, следовательно,

.

Если , то

.

Если , то

.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

 

 

Пример 3. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины

.

Найти постоянный параметр С.

Решение. Воспользуемся формулой

.

Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции

.

Отсюда

. (*)

Найдем несобственный интеграл

Таким образом, искомый параметр

.

 

Пример 4. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины

.

Найти моду этой случайной величины.

Решение. Найдем максимум функции f(x). Для этого определим производные первого и второго порядков:

,

.

Из уравнения находим х = 1. Так как , то при х = 1 функция f(x) имеет максимум, т.е. M = 1.

Значение а в данном случае можно не определять, так как максимум не зависит от числового значения а.

Пример 5. Дана плотность распределения случайной величины Х

Найти медиану этой случайной величины.

Решение. Медиану Me найдем из условия . В данном случае

.

.

Таким образом, приходим к уравнению

или

.

Решив биквадратное уравнение, получим

.

Из четырех корней этого уравнения нужно выбрать тот, который заключен между 0 и 2. Таким образом

.

Числовые характеристики непрерывных

Случайных величин

 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

. (4)

Предполагается, что (4) сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (a, b), то

. (5)

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат Ох, определяется равенством

. (6)

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a, b], то

. (7)

Для вычисления дисперсии более удобны формулы

, (6а)

. (7а)

 

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретной, равенством

 

. (8)