Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров и .

Известно, что графики функций и имеют одинаковую форму; сдвинув график в положительном направлении оси на единиц масштаба при или в отрицательном направлении при , получим график . Отсюда следует, что изменение величины параметра (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси : вправо, если возрастает, и влево, если убывает.

По-иному обстоит дело, если изменяется параметр (среднее квадратическое отклонение). Как уже было указано, максимум функции нормального распределения равен . Отсюда следует, что с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси . Заметим, что при и нормальную кривую называют нормированной.

62. Показательное распределение. Определение 23.3. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью

(23.3)

где – постоянная положительная величина.

Определим вероятность попадания в интервал НСВ , которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

. (23.4)

Для этого используем формулу: . Учитывая, что , , получим: . (23.5)

 

Пример 23.3. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону

Найти вероятность того, что в результате испытания СВ попадет в интервал .

Решение. По условию, . Воспользуемся формулой (23.5).

 

Рассмотрим числовые характеристики показательного распределения:

1) математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра , т.е. ;

2) дисперсия показательного распределения находится по формуле: ;

3) среднее квадратическое отклонение: .

63. Функция надежности. Показательный закон надежности. Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или «сложное».

Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через НСВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ.

Таким образом, функция распределения определяет вероятность отказа за время длительностью , т.е. вероятность противоположного события , равна: . (*)

Определение 23.4. Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью : . (23.6)

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого . Тогда, в силу соотношения (*), функция надежности показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид: .

Следовательно, показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством , (23.7)

где – интенсивность отказов.

Пример 23.4. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( –время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Решение. По условию, постоянная интенсивность отказов . Воспользуемся формулой (23.7): .

Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч, приближенно равна 0,1

64. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Теорема Чебышева. Если – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

.

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу (или к числу в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

65. Предельные теоремы теории вероятностей. Теорема Бернулли. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

.

Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.

66. Задачи математической статистики. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики состоит в указании способов сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики заключается в разработке методов анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. К ним относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента) и в ходе исследования (последовательный анализ), поэтому математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Таким образом, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

67. Генеральная и выборочная совокупности. Типы выборок. Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности , а объем выборки .

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

68. Статистический ряд. Статистическое распределение выборки. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось раз, – раз, …, – раз, при этом – объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки – относительными частотами.

Для визуальной оценки распределения исследуемой выборки (СВ ) производят группировку данных.

Если изучается дискретная случайная величина, то наблюдаемые значения располагаются в порядке возрастания и подсчитываются частоты или относительные частоты появления одинаковых значений случайной величины . В результате получаем сгруппированные статистические ряды следующего вида :

–ход эксперимента				…
– частоты				…

 

–ход эксперимента				…
– относительные частоты				…

 

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюдаемых значений случайной величины на частичных интервалов равной длины , , , …, и подсчете частоты или относительной частоты попадания наблюдаемых значений в частичные интервалы. Количество интервалов, как правило, рассчитывается по формуле:

. (25.1)

Длина частичного интервала вычисляется по формуле: , (25.2)

где – размах вариации.

В результате составляется интервальный статистический ряд следующего вида :

Интервалы наблюдаемых значений СВ			…
– относительные частоты			…

 

Определение 25.1. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

69. Эмпирическая функция распределения. Определение 25.2. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события , т.е.

,

где – число , меньших ; – объем выборки.

Из теоремы Бернулли следует, что при достаточно большом объеме выборки функции и мало отличаются друг от друга. Отличие эмпирической функции распределения от теоретической состоит в том, что теоретическая функция распределения определяет вероятность события , а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события.

Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами интегральной функции распределения:

1) значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку ;

2) – неубывающая функция;

3) если – наименьшая варианта, то при ; если – наибольшая варианта, то при .

Пример 25.1. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты	2	6	10
– частоты	12	18	30

Решение. Найдем объем выборки: 12+18+30=60.

Наименьшая варианта равна 2, следовательно при .

Значение , а именно , наблюдалось 12 раз, следовательно, при .

Значения , а именно и , наблюдались 12+18=30 раз, следовательно, при .

Так как – наибольшая варианта, то при .

Искомая эмпирическая функция

График этой функции имеет вид:

 

 

70. Графическое изображение статистических рядов. Для наглядности строят различные графики статистического распределения, и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот (относительных частот) называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , , …, (, , …, ). Для построения полигона частот (относительных частот) на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты (относительные частоты ). Точки (или ) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот (относительных частот).

Изобразим полигон относительных частот следующего распределения:

	1,5	3,5	5,5	7,5
	0,1	0,2	0,4	0,3

Полигон применяется для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов. Для изображения интервальных рядов применяется также гистограмма.

Гистограммой частот (относительных частот) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению (соответственно ), где – плотность частоты ( – плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Отметим, что если на гистограмме частот соединить середины верхних сторон элементарных прямоугольников, то полученная замкнутая ломаная образует полигон распределения частот.

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

71. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования.

Пусть – наблюдаемые значения СВ . Обозначим через статистическую оценку неизвестного параметра , вычисленного на основе данного статистического материала.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е.

.

Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. для любого при .

Отметим, что смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

72. Выборочная средняя. Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объема .

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объема различны, то

. (26.1)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

или . (26.2)

 

73. Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение. Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят такую характеристику как выборочная дисперсия.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения признака выборки объема различны, то

. (26.3)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

. (26.4)

Пример 26.1. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Найти выборочную дисперсию.

Решение.

Найдем выборочную среднюю по формуле (26.2): .

Найдем выборочную дисперсию:

.

Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .

Замечание. Вычисление дисперсии можно упростить, используя следующую формулу: . (26.5)

 

74. Исправленная выборочная дисперсия. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии и обозначается .

Исправленная выборочная дисперсия находится по формуле:

. (26.6)

 

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

. (26.7)

Отметим, что не является несмещенной оценкой.

Замечание. Сравнивая формулы (26.4) и (26.6), видим, что они отличаются только знаменателями. Очевидно, что при больших значениях объема выборки выборочная и исправленная дисперсии отличаются мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если примерно .

75. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты. Обычным эмпирическим моментом порядка называют среднее значение -х степеней разностей :

,

где – наблюдаемая варианта, – частота варианты, – объем выборки, – произвольное постоянное число (ложный нуль).

Начальным эмпирическим моментом порядка называют обычный момент порядка при : .

В частности, .

Центральным эмпирическим моментом порядка называют обычный момент порядка при : .

В частности, .

76. Точность оценки. Метод моментов. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, – точечные.

Можно доказать, что начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретичес