Кафедра общей и прикладной математики

 

Р.З. Камалян

 

Теория вероятностей

И математическая статистика

Учебное пособие

для студентов экономических специальностей

 

 

Краснодар

Кто так превратно рассуждает в области математики, от того, наверное, мало оснований ждать что-либо толкового и в других науках.

Леонард Эйлер.

 

 

Предисловие

 

 

Настоящее пособие написано на основе лекций и семинарских занятий, проведенных автором в течение ряда лет в академии маркетинга и социально-информационных технологий.

Пособие состоит из двух частей. В первой части изложены элементы теории вероятностей, иллюстрированные значительным числом решенных примеров. Вторая часть посвящена наиболее важным, с точки зрения прикладного применения, разделам математической статистики.

Пособие содержит контрольные задания, предназначенные для самостоятельного выполнения студентами.

Автор выражает глубокую благодарность президенту академии профессору С.Н Якаеву за поддержку и помощь при работе над рукописью настоящего пособия.

Автор искренне признателен рецензентам - доктору физико- математических наук, профессору Кубанского государственного аграрного университета И.И. Ефремову и доктору технических наук, профессору Кубанского государственного технологического университета Г.Т. Вартумяну, чьи замечания и пожелания способствовали улучшению содержания пособия.

Автор благодарит своих коллег, кандидатов физико- математических наук, доцентов А.И. Горшкова, И.В. Терещенко (КубГТУ), В.О. Осипяна, А.А. Халафяна (КубГУ) за содержательное обсуждение рукописи настоящего пособия, а также С.Р. Камаляна за помощь в подборе и решении значительного числа задач и упражнений.

Введение

Зарождение и первоначальное развитие теории вероятностей связано с решением задач статистики, с практикой страховых обществ и различных азартных игр. Последним принадлежит особая роль. Действительно, большинство первых задач теории вероятностей было связано с азартными играми. Азартные игры доставляли удобные схемы и модели, а отчасти и терминологию, позволявшие описать многие вероятностные явления и задачи. Конечно, и сами игры выдвигали задачи, стимулировавшие развитие теории вероятностей, хотя это и не было решающим. Следует отметить, что и сейчас при изложении начал теории вероятностей, в педагогических целях, преподаватели обращаются к играм в кости или в карты, так как в этих случаях легко подсчитать вероятности тех или иных возможных исходов.

Занимаясь вопросами теории вероятностей, математики, естественно, встречаются и с вопросами комбинаторного характера. Например, Н. Тарталья определил число различных сочетаний из n элементов по m (без повторений), которое сейчас принято обозначать символом . Важную роль в развитии комбинаторики сыграл «Трактат об арифметическом треугольнике» Б. Паскаля, который записал таблицу сочетаний в треугольной форме и который известен теперь как треугольник Паскаля.

До середины XVII в. в теории вероятностей не было никакого общего метода решения задач, не говоря уже о цельной математической теории. Первым руководством по теории вероятностей была книга великого голландского ученого Христиана Гюйгенса. По поводу своего сочинения «О расчетах в азартной игре», Гюйгенс писал: «Я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Книга Гюйгенса выдержала ряд изданий и переводов и была фактически единственной по теории вероятностей до начала XVIII в. Она оказала большое влияние на многих ученых, в том числе и на Я. Бернулли.

Теория вероятностей как наука возникла в середине XVII в., когда были выработаны её специфические понятия и методы. В этот же период появляются первые статистические работы так называемых политических арифметиков, видными представителями которых являются Джон Граунт и Вильям Петти. Конечно ни Д. Граунт, ни В. Петти в своих исследованиях не пользовались теорией вероятностей, но применявшиеся ими методы и понятия, по существу, были тесно связаны с теорией вероятностей, а поставленные в них вопросы стимулировали развитие этой науки. Необходимая связь между статистикой и теорией вероятностей была установлена только Я. Бернулли, с которого начался новый этап в истории теории вероятностей.

Творчество Я. Бернулли в теории вероятностей было основополагающим. Его открытия в этой области изложены в книге «Искусство предположений», которое вышло в свет уже после его смерти, в 1713 году. В ней Я. Бернулли, прежде всего, высказывает общие соображения о природе случайных событий, а затем выводит носящую теперь его имя теорему, лежащую в основе всех последующих исследований о закономерностях случайных массовых явлений. Теорема Бернулли явилась первой и простейшей в цепи предложений, образующих закон больших чисел, - этот термин предложил в 1835 г. французский математик С. Пуассон. Вместе с теоремой Муавра-Лапласа и её обобщениями закон больших чисел принадлежит к числу предельных теорем теории вероятностей, принципиальное значение которых в том, что на них основаны все применения этой науки к природным и общественным явлениям.

Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к началу XIX в., когда по разным поводам Н.И. Лобачевскому, М.В. Остроградскому и В. Я. Буняковскому пришлось решить ряд частных задач.

Формулировка и решение общих проблем теории вероятностей и начало становления её как большой математической науки со специфическими постановками проблем, играющих главную роль во всем естествознании, связаны с именами П.Л. Чебышева, А.М. Ляпунова и А.А. Маркова. Доказательством закона больших чисел П.Л. Чебышев не только открыл в науке общую и важную закономерность, но и дал исключительно простой и сильный метод важный как для теории вероятностей, так и для всей математики.

На протяжении XIX в. и начала XX в. в России были созданы учебники по теории вероятностей, уровень которых соответствовал уровню развития теории вероятностей в нашей стране.

Начало теоретико-вероятностных исследований в России связано с именами двух выдающихся математиков - А.Н. Колмогорова и А.Я. Хинчина. Фундаментальная монография А.Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей», а также книга, написанная им совместно с Б. Гнеденко, «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» были изданы на немецком, английском и др. языках.

Вклад отечественных ученых в развитие теории вероятностей заслуживает самой высокой оценки. Создав аксиоматику теории вероятностей на базе теории меры и теории функций действительного переменного, они в корне изменили эту науку, заложили прочный логический фундамент для развития новых её ветвей. В последующем, благодаря развитию общих методов теории случайных процессов и полей открылись большие возможности для изучения собственно как явлений природы, так и экономических процессов.

 

Основные понятия и формулы теории

Вероятностей

 

 

События

 

В любой науке есть основные понятия, на которые она опирается. Каждое последующее понятие определяется через предыдущие. Однако где-то этот процесс определения должен заканчиваться. Иными словами, должны быть первоначальные понятия, которые нельзя определить через другие; они лишь разъясняются, а все остальные сводятся к ним. Одним из таких понятий в теории вероятностей является понятие события. Под событием понимается всякий факт, который в результате эксперимента может произойти или не произойти.

События обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

Два события называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.