Свойства разложения бинома Ньютона

 

1. Количество членов разложения бинома на единицу больше показателя степени бинома.

2. Все члены разложения имеют одну и ту же степень n относительно первого и второго членов бинома, то есть разложение есть однородный многочлен, причём показатели первого члена убывают от n до 0, а показатели второго возрастают от 0 до n.

3. Коэффициенты разложения следуют так: первый равен 1 = , а последующие соответственно равны , , , …, , то есть коэффициент (k + 1)-го члена равен . Эти коэффициенты называются биноминальными. Биноминальные коэффициенты всегда натуральные числа, если показатель бинома натуральное число,

4. Общий член разложения вычисляется по формуле

T_k = .

 

5. Биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от концов разложения, равны между собой, то есть

 

 

6. Из свойств (1) и (5) следует, что если показатель бинома четный, то в разложении бинома средний член имеет наибольший биноминальный коэффициент, а если показатель бинома нечетный, то в разложении имеется два средних члена с одинаковым наибольшим коэффициентом.

7. Сумма всех биноминальных коэффициентов равна , где n - показатель бинома.

Если в формуле (9) положить a = b = 1, то получим

= .

8. Сумма биноминальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Для вычисления биноминальных коэффициентов удобно пользоваться так называемым треугольником Паскаля.

Треугольник Паскаля выглядит так

… …………………………………………………………………

 

Пример 1. Партия состоит из 10 стандартных и 5 нестандартных одинаковых деталей. Из партии наудачу извлекаются 5 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей 3 оказались стандартными.

Решение. Пусть А - событие, заключающееся в том, что среди пяти извлеченных деталей три оказались стандартными и два - нестандартными.

Так как детали извлекаются наудачу, то возможным элементарным исходом испытания является любая группа из 5 деталей, отобранных из 10 деталей. Пусть в группе оказалось 2 стандартные и 3 нестандартные детали. Так как при любой перестановке в этой группе число стандартных деталей не измениться, то порядок в группе несущественен, поэтому они относятся к сочетаниям.

Таким образом, испытание, в результате которого может появиться событие А, имеет множество элементарных исходов, которые являются равновозможными, а значит несовместными и образуют полную группу. Поэтому для отыскания вероятности события А применимо классическое определение вероятности.

Находим общее число n элементарных исходов

.

Определяем число исходов, благоприятствующих событию А, то есть те группы, которые содержат 3 стандартные и 2 нестандартные детали.

Три стандартные детали можно извлечь из 10 стандартных способами, а остальные 2 нестандартные из 5 нестандартных можно извлечь способами. Тогда, в соответствии с правилом произведения, число благоприятствующих исходов равно

.

Окончательно получаем

Решение задач, подобных рассмотренному примеру, можно обобщить.

Введем обозначения: N - число всех деталей в партии; n - число стандартных; m - число наудачу отобранных; k - число стандартных среди отобранных.

Тогда

 

Относительная частота

 

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой (частостью) события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

W(A) = m/n,

где m - число появлений события, n - общее число испытаний.

Необходимо четко различать понятия вероятности и относительной частоты события. Вероятность события вычисляется до опытов и численно выражает меру объективной возможности наступления события, а относительная частота определяется лишь после того, как результаты опыта становятся известными.

Пример. Монета подброшена пять раз. «Орел» выпал два раза. Каковы вероятность и частость выпадения «орла»?

Решение. Вероятность выпадения «орла» есть р = 1/2 = 0,5 (из двух возможных исходов при подбрасывании монеты выпадению «орла» благоприятствует один), а частость выпадения «орла» есть 2/5 = 0,4 (событие наступило два раза в пяти испытаниях).