Числовые характеристики непрерывной случайной величины

 

Напомним, что для дискретной случайной величины числовые характеристики определяются формулами:

,

,

 

.

 

Числовые же характеристики непрерывной случайной величины определяются формулами:

,

 

,

 

.

 

Эти характеристики имеют тот же смысл, что и в случае дискретной случайной величины.

Пример 3. В условиях примера2 найти числовые характеристики непрерывной случайной величины Х.

Решение

,

 

т. е. среднее значение случайной величины Х равно 1,5.

.

Или

 

Основные законы распределения

Ранее мы ввели понятие «закон распределения случайной величины». В практических задачах наиболее часто встречаются следующие законы распределения: равномерный закон; биноминальный закон (Бернулли); закон Пуассона; геометрический закон; показательный закон; нормальный закон (закон Гаусса).

Рассмотрим подробно каждый из них.

 

Равномерный закон распределения

 

Этот закон имеет место как для дискретной случайной величины, так и для непрерывной случайной величины.

Дискретная случайная величина называется равномерно распределенной, если все её возможные значения имеют одинаковые вероятности, т. е. суммарная вероятность, равная единице, равномерно распределена между всеми возможными значениями случайной величины. Закон распределения такой случайной величины имеет вид:

 

.

 

В этом случае

 

.

 

Дискретная случайная величина Х, рассмотренная в примере о мишени п.2.2.3, имеет равномерный закон распределения:

 

.

 

Среднее значение , что совпадает с ранее полученным результатом.

Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если её плотность вероятности задается формулой:

 

 

График плотности вероятности изображен на рис. 2.10.

 

Постоянная , т. к. по свойству плотности вероятности площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [a, b], должна быть равна единице.

Найдем функцию распределения равномерно распределенной непрерывной случайной величины, используя её геометрический смысл ( – площадь криволинейной трапеции, опирающейся на луч и ограниченной сверху кривой ):

 

График изображен на рис. 2.11.

Теорема. Еслинепрерывная случайная величина равномерно распределена, то её числовые характеристики вычисляются по формулам:

(2.5)

Доказательство. По определению числовых характеристик непрерывной случайной величины и свойствам интеграла имеем:

 

1.

 

 

2.

 

 

 

.

 

3. , теорема доказана.

 

Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины могут быть:

– время ожидания транспорта с постоянным интервалом движения;

– ошибка измерения при округлении измеряемой величины до ближайшего целого деления.

 

Биномиальный закон распределения

 

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, если она может принимать значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями

,

 

где .

 

Например, случайная величина, равная количеству успехов в схеме Бернулли n повторных независимых испытаний, имеет биноминальное распределение. В этом случае m – число успехов, p – вероятность успеха, q – вероятность неуспеха. Ряд распределения этой случайной величины:

 

.

 

Теорема. Числовые характеристики дискретной случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляются по формулам:

(2.6)

Доказательство. Случайную величину Х – число успехов в n независимых испытаниях – можно представить в виде суммы n независимых случайных величин

 

,

 

где случайная величина – число успехов в m-м испытании (m = 1, 2, …, n). Каждая из случайных величин имеет по два возможных значения и один и тот же закон распределения:

 

.

 

Найдем числовые характеристики случайной величины :

 

,

 

.

 

Теперь найдем числовые характеристики рассматриваемой случайной величины Х:

 

 

 

 

 

,

 

что и требовалось доказать.

Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, в теории массового обслуживания и других областях.