Числовые характеристики случайной точки

Случайную точку характеризуют пять чисел:

 

,

где – числовые характеристики случайной величины Х; – числовые характеристики случайной величины Y; – коэффициент корреляции.

Пример. В урне три шара с номерами 1, 2, 3. Вынимают наугад два шара. Х – номер первого шара, Y – номер второго шара.

Закон распределения случайной точки (Х,Y) был составлен в п.2.5.2:

 

У Х				Найдем законы распределения каждой случайной величины Х и Y, их числовые характеристики, а также числовые характеристики случайной точки (Х,Y).

1. Вероятности значений случайной величины Х вычисляются суммированием по строкам, случайной величины Y – суммированием по столбцам. Таким образом, законы распределения случайных величин Х и Y имеют вид:

 

; .

Из этого примера видно, что по совместному распределению двух случайных величин можно восстановить закон распределения каждой из них в отдельности. Обратное неверно.

2. Числовые характеристики случайных величин Х и Y:

1) математическое ожидание:

 

,

аналогично ;

2) дисперсия:

 

,

аналогично, ;

3) среднее квадратическое отклонение: , .

 

3. Числовые характеристики случайной точки (Х,Y) находим по формуле .

 

.

 

По формуле (2.14) находим

 

 

Линейная регрессия

Пусть (Х,Y) – двумерная случайная величина, где Х и Y – зависимые случайные величины. Возможно приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины Х:

 

, (2.15)

 

где и – параметры, подлежащие определению. Обычно эти параметры определяются методом наименьших квадратов.

Функция (2.15) называется наилучшим приближением в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание принимает наименьшее возможное значение. Функцию называют среднеквадратической регрессией Y на Х.

Теорема. Линейная среднеквадратическая регрессияY на Х имеет вид:

 

, (2.16)

 

где – коэффициент корреляции, и – математические ожидания величин Y и Х соответственно.

Коэффициент называют коэффициентом регрессии Y на Х, а прямую

,

 

реализующую линейную зависимость (2.16) случайной величины Y от случайной величины Х, называют прямой среднеквадратической регрессии Y на Х (линией регрессии Y на X). Поскольку зависимость (2.16) является приближенной, то существует погрешность этого приближения, называемая остаточной дисперсией:

 

. (2.17)

 

Аналогичную форму записи имеет прямая среднеквадратической регрессии Х на Y (линия регрессии X на Y):

.

 

Пример. Найти линейную среднюю квадратичную регрессию и остаточную дисперсию случайной величины Y на случайную величину Х по данным примера п. 2.5.5.

Решение. Для двумерной случайной величины (X,Y), приведенной в примере 2.5.5, все необходимые числовые характеристики найдены:

 

.

 

Из уравнения (2.16) получаем искомое соотношение:

 

или

 

.

 

Остаточная дисперсия рассчитывается по формуле (2.17):

 

.

 

Для оценки среднеквадратичной погрешности линейной регрессии обычно используют величину , в нашем случае она составляет:

 

.

 

Закон больших чисел

Закон больших чисел – это теорема, доказательство которой основано на следующих леммах.

Лемма 1. Неравенство Маркова. Пусть X – неотрицательная непрерывная случайная величина. Тогда для любого числа справедливо неравенство

.

 

Доказательство. Докажем неравенство Маркова для случая непрерывной случайной величины. Построим оценку M(X):

 

 

При построении оценки использованы определение математического ожидания непрерывной случайной величины, условие неотрицательности случайной величины Х, свойство плотности вероятности:

 

для .

 

Из полученной оценки после деления на получаем требуемое неравенство.

Пример 1. Среднее количество вызовов, поступающих в течение часа на телефонную станцию, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение часа число вызовов:

1) превысит 400; 2) будет не более 500.

Решение. Пусть Х – число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение часа. По условию задачи .

Используя неравенство Маркова, получаем:

 

1) ;

2) .

 

Ответ: ; , т. е. не более чем в 75% случаев на станцию в течение часа поступит более 400 вызовов; не менее чем в 40% случаев в течение часа на станцию поступит не более 500 вызовов.

 

Лемма 2. Неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина с числовыми характеристиками и . Тогда для любого числа справедливо неравенство:

 

.

 

Доказательство. Используя неравенство Маркова и определение дисперсии, имеем:

 

что и требовалось доказать.

 

Пример 2. Средний расход воды на перерабатывающей станции составляет 1000 л в день. Отклонение от нормы не превышает 200 л в день. Оценить вероятность того, что расход воды в день не превысит 2000 л: 1) по неравенству Маркова; 2) по неравенству Чебышева.

Решение. Пусть случайная величина Х – расход воды в день (л).

По условию задачи и . Построим оценки:

 

1) ;

 

 

т. е. по неравенству Чебышева.

В данной задаче оценку вероятности события, найденную с помощью неравенства Маркова , удалось уточнить с помощью неравенства Чебышева .

Будем в дальнейшем кратко называть случайные величины однотипными, если они имеют одно и то же математическое ожидание а и одну и ту же дисперсию D.

Лемма 3. О среднем арифметическом. Пусть – независимые однотипные случайные величины с числовыми характеристиками а и D. Тогда для любого числа справедливо неравенство:

 

.

Доказательство. Случайная величина

 

 

имеет числовые характеристики и . Это следует из свойств математического ожидания и дисперсии для независимых случайных величин:

 

;

 

 

 

 

Применяя к случайной величине Х неравенство Чебышева, получим:

 

,

 

что и требовалось доказать.

Теорема. Закон больших чисел. Пусть – последовательность независимых однотипных случайных величин с математическим ожиданием а.

Тогда для любого числа

 

при . (2.18)

 

Последнее означает, что при достаточно больших с практической достоверностью (с вероятностью

 

,

 

т. е. среднее арифметическое большого числа однотипных независимых случайных факторов практически неслучайная величина.

Доказательство. Всилу леммы 3 и с учетом того, что получаем двойное неравенство:

 

.

 

Учитывая, что и свойство пределов «О двух милиционерах», получаем требуемое соотношение (2.18). Закон больших чисел был впервые получен русским математиком П. Л. Чебышевым.