Повторные испытания. Схема Бернулли

Рассмотрим часто встречающуюся ситуацию.

1. Проводится n независимых испытаний. Независимость означает, что в каждом следующем испытании полностью повторяются условия, в которых проводилось предыдущее.

2. В каждом испытании интересующее нас событие А (успех) наступает с одной и той же вероятностью р, и не наступает, т. е. наступает событие (неуспех), с вероятностью q = 1– p.

Указанная ситуация – схема повторных испытаний (схема Бернулли).

Пусть k – число наступлений события А (число успехов) в серии из n независимых испытаний. Очевидно, что в зависимости от случая k принимает одно из возможных значений .

Обозначим – вероятность k успехов в серии из n испытаний.

Теорема. Вероятность числа успехов k в серии из n повторных испытаний находится по формуле Бернулли:

 

, (1.16)

 

где p – вероятность успеха, q – вероятность неуспеха.

Доказательство:

 

.

 

В сумме перечислены всевозможные n-ки (произведения n элементов), в которых на k местах стоит множитель А и на (n – k) местах – множитель . Всего слагаемых в этой сумме , все слагаемые суммы – попарно несовместные события, тогда по формулам (1.12), (1.9) получаем:

 

 

поскольку множители в составе каждого слагаемого независимы, вероятность каждого слагаемого – , а всего слагаемых – .

Пример. Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность возможного числа бракованных деталей среди пяти отобранных.

Решение. Испытание – проверка детали на стандартность. Обозначим события: – деталь стандартная (неуспех); А – деталь бракованная (успех).

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 – число бракованных деталей, , . По формуле (1.16):

 

;

;

;

;

; .

 

Полученные вероятности изобразим точками с координатами . Соединив эти точки ломаной, получим полигон распределения вероятностей (рис. 1.8).

Наивероятнейшее число появлений успеха

В схеме повторных испытаний

В последнем примере мы видим, что есть значения k (в данном случае ), обладающие наибольшей вероятностью . Число наступления события А в независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если , для .

Теорема. Наивероятнейшее число определяется из двойного неравенства:

, (1.17)

 

причем таких не более двух.

Доказательство:

1. Докажем, что таких не более двух.

, длина этого промежутка равна

 

 

Так как – целое число, принадлежащее промежутку длины 1, то таких либо одно, либо два.

2. По определению наивероятнейшего числа:

 

 

Из неравенства (1) с учетом формул Бернулли и числа сочетаний имеем:

 

После почленного деления на получим

.

 

Умножая обе части неравенства на выражение , после упрощений получим неравенство

или

 

.

 

Отсюда , т. к. .

 

Аналогично из неравенства (2) системы получаем . Из полученных оценок для следует требуемое неравенство (1.17).

Пример 1. В условиях примера п. 1.8 . Наивероятнейшее число найдем по формуле (1.17):

 

.

 

Так как – натуральное число, то .

 

Пример 2. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений трёх очков было равно 10?

Решение. Пусть событие – выпадение тройки (успех); тогда , .

Наивероятнейшее число успехов , найдем общее число испытаний по оценке (1.17):

 

или .

 

Отсюда , т. е. для того, чтобы наивероятнейшее число выпавших троек было равно 10, необходимо подбросить игральную кость от 59 до 65 раз.

 

Схема повторных испытаний. Формулы приближенных

Вычислений

 

Если число испытаний велико, то непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно. Это связано с вычислением факториалов больших чисел и с тем, что и – дробные числа. Поэтому рассмотрим приближенные формулы вычисления .

Теорема 1. Формула Пуассона. Если вероятность успеха в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний и произведении , то вероятность удовлетворяет следующему соотношению:

. (1.18)

 

Эта приближенная формула дает незначительные погрешности, если

 

.

 

Пример 1. Швейной фабрикой выпускаются два вида пальто с меховым воротником и без него. Пальто с меховым воротником составляют 0,01% от всего объема выпускаемых изделий. Найти вероятность того, что из 100 тыс. пальто, изделий с меховым воротником окажется только два.

Решение. В этом примере n достаточно велико: .

Пусть событие А – пальто с меховым воротником, тогда вероятность успеха = .

Параметр, .

Тогда по формуле Пуассона (1.18):

 

.

 

Ответ: примерно в 0,2% случаев из 100 тыс. пальто два окажутся с меховым воротником.

 

Правую часть приближенной формулы можно рассматривать как функцию двух переменных :

 

.

 

Эта функция называется функцией Пуассона, для нее существуют таблицы (см. табл. П.3).

Пример 2. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов?

Решение. Из условия задачи , , .

.

(табл. П. 3).