Закон распределения Пуассона

 

Если n велико, а p – мало, то хорошим приближением биномиального закона является закон Пуассона, который представляет собой закон распределения вероятностей массовых и редких событий.

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она имеет бесконечное, но счетное множество возможных значений 0, 1, 2, …, k, … с вероятностями

 

, ,

 

где число – параметр закона Пуассона.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна единице:

 

Мы воспользовались разложением функции в ряд Маклорена:

 

 

Теорема. Если дискретная случайная величина Х распределена по закону Пуассона, то её числовые характеристики равны:

. (2.7)

Доказательство. Докажем только первую формулу .

С формулой Пуассона связан так называемый простейший поток событий.

Поток событий – это последовательность однородных событий, которые наступают одно за другим в случайные моменты времени. Они часто встречаются в системах массового обслуживания (количество вызовов скорой помощи, такси и др.).

Простейший поток событий – это поток событий со свойствами:

1) стационарность: вероятность того, что за время t произойдет k событий, т. е. , зависит только от k и t и не зависит от начала и конца отсчета временного промежутка;

2) отсутствие последействия: предыстория потока не влияет на вероятность появления событий в будущем;

3) ординарность: появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно (например, поток поездов, подходящих к станции).

Простейший поток характеризуется интенсивностью (среднее число событий за единицу времени). Тогда – число событий за промежуток t.

Обозначим – вероятность появления k событий за промежуток времени t, тогда

 

.

Геометрический закон распределения

Дискретная случайная величина Х называется геометрически распределенной с параметром p, если она принимает значения и вероятности этих значений вычисляются по формуле:

 

,

 

где , .

 

Примером такой случайной величины Х может быть число испытаний, проведенных до первого успеха, в схеме независимых повторных испытаний:

 

 

Проверим, что сумма всех вероятностей равна единице.

 

Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии , где .

 

Теорема. Если дискретная случайная величина Х распределена по геометрическому закону, то её числовые характеристики равны:

 

. (2.8)

 

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

 

Непрерывная случайная величина Х называется показательно-распределенной с параметром , если её плотность вероятности задается формулой:

 

Из определения плотности мы знаем, что неотрицательна, следовательно, параметр . График изображен на рис. 2.12.

Убедимся в том, что площадь, заключенная между графиком и осью Ох, равна единице:

 

 

Составим функцию распределения для показательного закона и построим её график (рис. 2.13).

 

 

Заметим, что с возрастанием x функция F(x) возрастает. Это означает, что если представить x как время, а F(x) – как вероятность отказа за время x некоторого устройства, то со временем эта вероятность в результате износа устройства постепенно растет. Таким образом, примером случайной величины, распределенной по показательному закону, может быть – время безотказной работы некоторого устройства.

 

 

Показательный закон играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Например, случайная величина Х, равная интервалу времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке, имеет показательное распределение с параметром – интенсивность потока.

Теорема. Числовые характеристики показательно распределенной непрерывной случайной величины вычисляются по формулам:

. (2.9)

 

Доказательство. 1. Используя формулу интегрирования по частям находим математическое ожидание:

 

 

2. Для вычисления дисперсии найдем , используя формулу интегрирования по частям:

 

 

По свойству 4 дисперсии имеем:

 

.

 

Тогда , что и требовалось доказать.