Распределение Пуассона: формула расчета вероятности, функция распределения.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 6Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Содержание

1. Испытание Бернулли и биномиальное распределение. Обобщение испытания Бернулли на случай k исходов (k > 2).

Испытание Бернулли – случайный эксперимент, имеющий всего 2 исхода (успех и неудача). Серия испытаний – повторение испытания Бернулли n-раз. Вероятность исходов при этом неизменна.

p (успех) ≥ 0

q (успех) ≥ 0

p + q = 1

Вероятность наступления каждого из исходов определяется по формуле умножения вероятностей. Например, вероятность наступления двух успехов в двух испытаниях: P = pp. Сумма вероятностей для всех исходов будет равен 1.

Биномиальное распределение возникает в случаях, когда нас интересует, сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного испытания.

Биномиальное распределение X = n (целое, 0 ≤ n ≤ k) имеет формулу:

Где k – все испытания, n – число успехов, p – вероятность успеха, q – вероятность неуспеха.

Понятие функции плотности распределения для непрерывных случайных величин.

В случайных экспериментах многие показатели имеют числовое выражение. К примеру, рост, возраст и вес случайно выбранного человека – будет случайной величиной.

Главное, что случайная величина всегда зависит от исхода случайного эксперимента.

Существует два вида случайных величин: дискретные (множество значений конечно и счетно) и непрерывные (значения – непрерывное множество).

В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции или плотности распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию — первую производную от функции распределения :

Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу, равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Доказательство. Используя соотношение,

( Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале)

Область применения. Использование стандартных нормальных величин в проверках гипотез (Уилкоксон)

Статистика Уилкоксона, используемая для проверки гипотезы о равенстве распределений (медиан) двух выборок (W*), если выполняются допущения (выборки независимы между собой, законы распределений непрерывны), и при большом количестве наблюдений в выборках распределена приблизительно по нормальному закону с параметрами (0;1). Для проверки гипотезы наблюдаемое значение сравнивается со стандартной величиной z _α\2.

Распределение суммы

Сумма двух независимых нормальных величин тоже распределена нормально, причем X₁+X₂ ~(a₁+a_2; σ₁ ² +σ₂ ²)

E(X₁+X₂) = E(X₁) + E(X₂) = a₁+a₂

Или E(a₁+ σ₁ ²Z, a₂+ σ₂ ²Z)= E (a₁+ σ₁ ²Z)+E(a₂+ σ₂ ²Z)= a₁+a₂

D(X₁+X₂) =D(X₁) +D (X₂) +2Cov(X,Y)= σ₁ ² +σ₂ ²

(т.к. Cov(X,Y)=0 – так как независимые)

Или D(a₁+ σ₁ ²Z, a₂+ σ₂ ²Z)= D (a₁+ σ₁ ²Z)+D(a₂+ σ₂ ²Z) +2Cov(a₁+ σ₁ ²Z, a₂+ σ₂ ²Z) =

= σ₁ ² +σ₂ ² +0= σ₁ ² +σ₂ ²

(* - Доказательство нормальности суммы величин, приведенное в учебнике Макарова «Теория вероятностей» (с.183-184), основано на построении совместной плотности, переходе к полярным координатам и нахождении двойного интеграла. Никогда не разбирали такое – наверное, не понадобится)

Биномиальное распределение

У этого распределения два параметра: n (количество испытаний) и p (вероятность успеха в одном испытании), =>к=2.

1. Мы знаем, что для биномиального распределения μ₁ = Mξ = n×p;

В соответствии с Замечанием 2 мы для второго уравнения используем второй центральный момент: α₂ = Dξ = n×p×q= n×p×(1–p)

2. Соответствующие эмпирические моменты

m₁ = ,

3. Составляем систему уравнений

np= и S²=np(1–p) => (17)

Мощность критерия

План ответа:

1. Понятие. Связь с ошибкой второго рода.

2. Что значит мощность критерия? Как ее увеличить?

Мощность критерия (1-β) – способность текста обнаруживать альтернативную гипотезу или способность отвергнуть нулевую гипотезу, при условии, что верна альтернатива.

Иными словами, мощность критерия – вероятность отвергнуть неверную нулевую гипотезу.

Мощность критерия непосредственно связана с ошибкой второго рода – вероятностью не отвергнуть неверную нулевую гипотезу.

Мощность = 1- β (отвернуть и не отвергнуть гипотезу – противоположные события, поэтому мощность в сумме с ошибкой второго рода дает 1). Таким образом, для расчета мощности необходимо знать распределение статистики по альтернативной гипотезе.

Мощность критерия показывает, насколько сильна статистика, насколько тест может обнаруживать ошибки. Чем больше мощность, тем меньше вероятность не отвергнуть неверную гипотезу.

Увеличить мощность критерия можно 2 основными способами:

1) Увеличить размер выборки (размер определяет ошибку выборки: с увеличением числа наблюдений уменьшается стандартная ошибка → увеличивается мощность).

Проблема: не всегда возможно увеличить выборку (ограниченность ресурсов)

2) Увеличить rejection region – область отвержения гипотезы:
С увеличением области отвержения увеличивается вероятность отвергнуть верную гипотезу – ошибка первого рода (при этом увеличивается вероятность получить статистически значимый результат) → когда увеличивается ошибка первого рода, ошибка второго рода (β) уменьшается → мощность увеличивается (между β и мощностью обратная зависимость).

Проблема: при таком способе увеличении мощности мы увеличиваем вероятность ошибки первого рода (нельзя одновременно уменьшить обе ошибки).

+ еще можно уменьшить дисперсию совокупности (примерно тот же эффект, что и от увеличения выборки). Этого можно добиться, например, увеличивая точность измерений.

Условия Гаусса-Маркова

Для того чтобы полученные по МНК оценки коэффициентов регрессии обладали определенными статистическими свойствами, необходимо выполнение ряда предпосылок оцениваемой модели, называемыми условиями Гаусса-Маркова.

N. B.! Рассматриваеттся модель парной регрессии, в которой наблюдения Y связаны с X следующей зависимостью: Yi = β₀ + β₁x_i + _i. На основе n выборочных наблюдений оценивается уравнение регрессии i = + + _i.

Чтобы оценки МНК были эффективны в классе линейных несмещенных оценок (BLUE), необходимо, чтобы данные обладали следующими свойствами:

1. Ошибки не носят систематического характера - (последний значок означает – при любых i). Требование, означающее несмещенность в среднем «наблюдаемых» значений зависимой переменной относительно «теоретических».

Случайный член может быть иногда положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения ни в каком из двух возможных направлений. Если уравнение регрессии включает постоянный член (β₀), то это условие чаще всего выполняется автоматически, так как постоянный член отражает любую систематическую, но постоянную составляющую в , которой не учитывают объясняющие переменные, включённые в уравнение регрессии.

2. Дисперсия ошибок одинакова и равна некоторой (гомоскедастичность). Не должно быть априорной причины для того, чтобы случайный член порождал бо́льшую ошибку в одних наблюдениях, чем в других. Так как и теоретическая дисперсия отклонений равна , то это условие можно записать так: (потому что мы знаем, что дисперсия это мат. ожидание в квадрате минус квадрат мат. ожидания). Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайного члена. Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициент регрессии, найденные по методу наименьших квадратов, будут неэффективны.

3. Отсутствие автокорреляции COV ( i, j) = 0 распределены независимо от при . Это условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях. Если один случайный член велик и положителен в одном направлении, не должно быть систематической тенденции к тому, что он будет таким же великим и положительным (то же можно сказать и о малых, и об отрицательных остатках).

4. Все детерминированы и не все равны между собой – Если все равны между собой, то , и в уравнении оценки коэффициента наклона прямой в линейной модели в знаменателе будет ноль, из-за чего будет невозможно оценить коэффициенты β₁ и вытекающий из него β₀.

Но мы можем использовать более слабое условие – X i и i - независимы между собой: Cov(X, )=0

5. * Нормальность ошибок: N (β₀, I ) – не необходимое, но полезное условие

Пример

Допустим у нас есть три точки (1, 3); (2, 5); (3, 6). C помощью этого выведем остатки.

		a + b	3 – a – b
		a + 2b	5 – a – 2b
		a + 3b	6 – a – 3b

Выведем уравнение для

S = (3 – a – b)² + (5 – a – 2b)² + (6 – a – 3b)² = 3a² + 14b² + 12ab – 28a – 62b + 70

Теперь нам надо найти такие значения a и b (оценок коэффициентов нашей регрессии), чтобы S была минимальной, для этого мы находим значения a и b, удовлетворяющие следующим условиям:

Получаем систему уравнений:

6a + 12b – 28 = 0

28b + 12a – 62 = 0

Решаем, получаем, что уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

31. ANOVA – для модели линейной регрессии

Нулевая гипотеза: модель регрессии не объясняет вариацию признака

Альтернативная гипотеза: модель регрессии удовлетворительно объясняет вариацию признака

Для проверки модели регрессии с помощью ANOVA необходимо подсчитать объясненную нашей моделью вариацию (ESS) и сумму квадратов остатков (RSS). О том, как это делается – см. билет 23 и 28. Понять, как используется ANOVA в случае линейной регрессии проще всего на примере гипотетической выдачи SPSS: