Ошибки первого и второго рода: расчет вероятности ошибки первого и второго рода

Проверка статистической гипотезы означает проверку согласования исходных выборочных данных с выдвинутой основной гипотезой. При этом возможно возникновение двух ситуаций – основная гипотеза может подтвердиться, а может и быть опровергнута. Следовательно, при проверке статистических гипотез существует вероятность допустить ошибку, приняв или опровергнув верную гипотезу.

При проверке статистических гипотез можно допустить ошибки первого или второго рода

Ошибкой первого рода – отвергаем верную гипотезу.

Ошибкой второго рода – не отвергаем неверную гипотезу.

Уровнем значимости α называется вероятность совершения ошибки первого рода.

Значение уровня значимости α обычно задаётся близким к нулю (например, 0,05; 0,01;0,02 и т. д.), потому что чем меньше значение уровня значимости, тем меньше вероятность совершения ошибки первого рода, состоящую в опровержении верной гипотезы Н0.

Вероятность совершения ошибки второго рода, т. е. принятия ложной гипотезы, обозначается β

При проверке нулевой гипотезы Н0 возможно возникновение следующих ситуаций:

 

N. B.! Смотрим распределение вероятностей по распределению верной гипотезы, то есть ошибку второго ищем по Н1, а не по Н0.

1- β – мощность критерия – способность теста обнаруживать альтернативную гипотезу или способность отвергать Н0, когда верна альтернатива (показывает насколько хороша статистика).

Таким образом, чем выше мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода.

При проверке гипотез возникают ошибки двух типов. Ошибка первого рода - отвергнуть Н₀ , в то время, как она является верной; и ошибка второго рода – принять нулевую гипотезу, которая в действительности является неверной. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается α. Таким образом, α = Р { U Ψ | H ₀}, т.е уровень значимости α – это вероятность события{ U Ψ}, вычисленная в предположении о том, что Н ₀ верна. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0.05 или 0.01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0.05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

 

Уровень значимости ошибки однозначно определен, если гипотеза простая (Н₀ : р=1/4, Н₁ : р 1/4), то есть распределение вероятностей задано точно. Когда же гипотеза сложная, то есть задан тип распределения вероятности с точностью до параметра (Н₀ : р=1/4, Н₁: р 1/4, Н₁: р 1/4, Н₁ 0,8)

Для проверки как нулевой так и альтернативной гипотезы используется специально подобранная величина, значение которой точно или приближенно известно, соответственно Z – нормальное распределение, F – Фишер, t – Стьюдент, ² – «хи-квадрат». После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разделяют на два непересекающихся подмножества: то, где гипотеза принимается, и то, где нет.

Вероятность ошибки второго рода есть P { U Ψ | H ₁}. Обычно используют не эту вероятность, а а ее дополнение 1, т.е. P { U Ψ | H ₁} = 1 - P { U Ψ | H ₁}. Эта величина носит название мощности критерия. Таким образом, мощность критерия – это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, когда альтернативная верна. Чаще всего мощность критерия обозначается как (1- ), где – ошибка второго рода. Стоит отметить, что мощность критерия – достаточно слабая статистика, потому что ошибки в ней слишком часты.

 

Поскольку исследователь хочет прийти к правильному выводу, надежные исследования планируются таким образом, чтобы обеспечить низкий уровень а и большую мощность. При низком уровне а крайне мало шансов отвергнуть правильную нулевую гипотезу, а при большой мощности критерия больше шансов принять правильную альтернативную гипотезу.

Существует несколько способов увеличить мощность критерия:

· Повысить уровень значимомсти. Так повышается вероятность отвергнуть нулевую гипотезу и, соответственно, принять верную альтернативную. Вместе с тем растет риск отвергнуть же нулевую гипотезу, которая может оказаться верной, и совершить таким образом ошибку первого рода.

· Формулирование направленных гипотез – исследователь может сосредоточиться на риске с уровнем исходов, которые соответствуют выбранной гипотезе.

· Увеличить размер выборки, т.к статистики, основанные на большом количестве респондентов, более устойчивы и обеспечивают более точную оценку характеристик генеральной совокупности. Т.е прибавка прямым образом повышает вероятность того, что будет принята верная гипотеза.