Виды гипотез. Статистическая проверка гипотез (с односторонней и двусторонней альтернативой)

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах изучаемого признака.

Примеры статистических гипотез:

1. Математическое ожидание изучаемого нормально распределенного признака в генеральной совокупности равно 100 кг.

2. Вероятность данного события равна 0.6.

3. Изучаемый признак в генеральной совокупности имеет показательный закон распределения.

4. Уровень производственного брака в данной партии товара ниже 0.05%.

 

Постановка задачи начинается с выдвижения основного утверждения (нулевой или основной гипотезы Н₀), причем наряду с выдвинутой гипотезой всегда рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которую называют конкурирующей или альтернативной гипотезой Н_{1 .}

 

Примеры: 1) Н₀: р=0.7; 2) Н₀: m=3;

Н₁: р≠0.7. Н₁: m>3.

Здесь р – вероятность; m – математическое ожидание.

Далее на основе экспериментальной информации конструируется специально подобранная из разумных соображений случайная величина, являющаяся функцией от результатов наблюдений, распределение которой известно при выполнении гипотезы Н_0. Именно эта случайная величина K, которую называют статистическим критерием или просто критерием служит для проверки справедливости нулевой гипотезы Н₀.

После выбора определенного критерия K множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза принимается на фоне сопутствующей конкурирующей гипотезы, а другое, при которых нулевая гипотеза отвергается, позволяя считать утверждение, высказанное в конкурирующей гипотезе, обоснованным.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений критерия) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Это такие значения критерия, которые характерны для известного при справедливости нулевой гипотезы распределения критерия K. Характерными или естественными будем называть значения критерия, которые характеризуютсябольшой вероятностью появления. Величину этой вероятности обсудим ниже.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей гипотезы. Это такие значения критерия, которые не характерны для данного распределения, т.е. возникающие с малой вероятностью для этого распределения.

Критическими точками (границами упомянутых областей) K_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Гипотеза называется параметрической, если речь идет об утверждении, связанном с каким-то конкретным параметром. В противном случае она называется непараметрической.

Гипотеза называется простой, если речь идет о том, что неизвестный параметр принимает какое-то конкретное значение. Если речь идет о многих значениях параметра, то она называется сложной (см. вышеприведенные примеры: Н₀: р=0,7 - это пример простой гипотезы; Н₁: m>3 – это пример сложной гипотезы).

 

Процедура проверки простой параметрической гипотезы выглядит так:

1. Формируют нулевую гипотезу Н₀ и альтернативную гипотезу Н₁ на основе выборочных данных.

2. Конструируют, исходя из логики задачи, случайную величину на основе результатов выборки, которую в данном разделе называют критерием; распределение критерия в случае истинности гипотезы Н₀ должно быть известно.

3. Вся область возможных значений критерия разбивается на две подобласти (или два подмножества).

Одно подмножество – это совокупность естественных (правдоподобных), т.е. наиболее вероятных для данного распределения значений. В это подмножество критерий попадает с высокой вероятностью g. Эта вероятность задается в условиях задачи. Она носит название «доверительная вероятность» (иначе «уровень доверия»). Обычно для g задают следующие стандартные значения: g = 0.90; 0.95; 0.99. Если значение доверительной вероятности взять равным 1, то в этом случае область естественных значений параметра становится бесконечно большой, при этом алгоритм проверки статистической гипотезы разрушается.

Другое подмножество – это область редко возникающих для данного закона распределения (неправдоподобных) значений критерия, которые однако характерны для значений критерия, если справедливой является конкурирующая гипотеза. Вероятность попадания критерия K в эту область мала и равна a = 1-g; a носит название «уровень значимости». Для a задают такие стандартные значения: a = 0.10; 0.05; 0.01; понятно, что достаточно задать либо значение доверительной вероятности, либо значениеуровня значимости. Критерий K принято обозначать через t.

4. На основе выборочных значений изучаемого признака вычисляют значение критерия K_набл (или t_набл). Его называют «наблюдаемое значение критерия»; при критерии стоит индекс «набл». Если значение K_набл попадает в область правдоподобных значений для данного закона распределения, то с вероятностью g утверждают, что гипотеза Н₀ не противоречит экспериментальным данным на фоне конкурирующей гипотезы, а поэтому принимают именно основную гипотезу. Если значение K_набл попадает в область неправдоподобных для данного закона распределения значений, то гипотезу Н₀ отвергают и принимают, следовательно, альтернативную гипотезу Н_1.

5. Если при проверке гипотезы Н₀ эта нулевая гипотеза принимается, то данный факт не означает, что высказанное в нулевой гипотезе утверждение является единственно верным. Просто утверждение нулевой гипотезы не противоречит имеющимся выборочным данным. Возможно, что и другое утверждение также не будет противоречить выборочным данным.

6. Не вдаваясь в более сложные и тонкие утверждения, связанные с принятием нулевой гипотезы или же альтернативной гипотезы, отметим лишь следующее. Если наблюдаемое значение критерия K_набл попадает в область неестественных значений и мы, следовательно, отвергаем гипотезу Н₀ и принимаем гипотезу Н₁, то не можем ли мы при этом совершить ошибку - отвергнуть верную гипотезу Н₀ и принять ложную гипотезу Н₁? Да, можем, но вероятность этой ошибки мала. В связи со сказанным отметим смысл ранее введенного понятия уровня значимости a – это вероятность отклонить нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы при условии, что в действительности верна нулевая гипотеза (иначе: Р (Н₁/ Н₀) = a).

Вид альтернативной гипотезы

(для исходной простой параметрической гипотезы Н₀ : q = q₀) может быть таким:

1. Н₁: q ≠q₀

g +a=1

2. Н₁: q <q₀

g +a=1

3. Н₁: q >q₀

g +a=1

 

Как ясно из приведенных выше графиков вид альтернативной гипотезы рождает ту или иную конфигурацию критической области (двустороннюю, левостороннюю, правостороннюю).