Доверительный интервал. Доверительная вероятность

 

Пусть для параметра получена из опыта несмещенная оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например, или ) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение , для которого

. (14.3.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на , будет ; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью .

Перепишем (14.3.1) в виде:

. (14.3.2)

Равенство (14.3.2) означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

. (14.3.3)

При этом необходимо отметить одно обстоятельство. Ранее мы неоднократно рассматривали вероятность попадания случайной величины в заданный неслучайный интервал. Здесь дело обстоит иначе: величина не случайна, зато случаен интервал . Случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром ; случайна вообще и длина интервала , так как величина вычисляется, как правило, по опытным данным. Поэтому в данном случае лучше будет толковать величину не как вероятность «попадания» точки в интервал , а как вероятность того, что случайный интервал накроет точку (рис. 14.3.1).

Рис. 14.3.1.

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал - доверительным интервалом. Границы интервала : и называются доверительными границами.

Дадим еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра , совместимых с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если условиться считать событие с вероятностью практически невозможным, то те значения параметра , для которых , нужно признать противоречащими опытным данным, а те, для которых , - совместимыми с ними.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и .

Пусть для параметра имеется несмещенная оценка . Если бы нам был известен закон распределения величины , задача нахождения доверительного интервала была бы весьма проста: достаточно было бы найти такое значение , для которого

.

 

35.Стьюдента распределение Стьюдента распределение с f степенями свободы, распределение отношения Т = X/Y независимых случайных величин Х и Y, где Х подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием EX = 0 и дисперсией DX = 1, а fY ^2 имеет "Хи-квадрат" распределение с f степенями свободы. Функция распределения Стьюдента выражается интегралом . Если X1,..., Xn — независимые случайные величины, одинаково нормально распределённые, причём EX i= a и DX i= s ^2(i = 1,..., n), то при любых действительных значениях а и s > 0 отношение подчиняется С. р. с f = п- 1 степенями свободы (здесь и ). Это свойство было впервые (1908) использовано для решения важной задачи классической теории ошибок У. Госсетом (Англия), писавшим под псевдонимом Стьюдент (Student). Суть этой задачи заключается в проверке гипотезы а = a 0 (a 0 = заданное число, дисперсия s ^2 предполагается неизвестной).

Метод наименьших квадратов

является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса .

Рассмотрим процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов более подробно. Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

y_t = a₀ + a₁ х_1t +...+ a_n х_nt + ε_t.

Исходными данными при оценке параметров a₀ , a₁ ,..., a_n является вектор значений зависимой переменной y = (y₁, y₂,..., y_T)' и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

Статистической гипотезой

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема из распределения . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

 

 

\