Мода и медиана случайной величины

Модой дискретной случайной величины называется наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода есть такое значение случайной величины, которому отвечает наибольшее значение плотности распределения.

Если кривая плотности распределения имеет два или несколько максимумов, то распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Медианой случайной величины X называется такое ее возможное значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины

.

Это равенство означает, что медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам.

Моменты случайной величины.

Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

-м начальным моментом случайной величины где называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;

-м центральным моментом случайной величины называется величина

-м факториальным моментом случайной величины называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Замечания

Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков

В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:

и т. д.

Геометрический смысл некоторых моментов

равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.

равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.

, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

называется коэффициентом асимметрии.

контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина

называется коэффициентом эксцесса распределения

Вычисление моментов

Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:

если

а для дискретного распределения с функцией вероятности

если

Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :

Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

 

Коэффициент ассиметрии, эксцесс.

Коэффициент асимметрии:

Числовая характеристика асимметрии распределения вероятностей, определяемая через центральные моменты 2-го и 3-го порядков:

Коэффицие́нт асимметри́и (skewness) — числовая характеризующая степени несимметричности распределения данной случайной величины.

Пусть задана случайная величина , такая что .

Коэффициент асимметрии распределения случайной величины определяется формулой:

ЭКСЦЕССА КОЭФФИЦИЕНТ

, эксцесс,- скалярная характеристика островершинности графика плотности вероятности унимодального распределения, к-рую используют в качестве нек-рой меры отклонения рассматриваемого распределения от нормального. Э. к. определяется по формуле

где есть 2-й коэффициент Пирсона, и - 2-й и 4-й центральные моменты вероятностного распределения.

Биномиальное распределение.

Биномиальное распределение

распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения m = 1, 2,.., n с вероятностями

где q = 1 — p, a — биномиальные коэффициенты (отсюда название Б. р.). Приведённая формула иногда называется формулой Бернулли. Математическое ожидание и Дисперсия величины μ, имеющей Б. р., равны М (μ) = np и D (μ) = npq, соответственно. При больших n, в силу Лапласа теоремы (См. Лапласа теорема), Б. р. близко к нормальному распределению (См. Нормальное распределение), чем и пользуются на практике. При небольших n приходится пользоваться таблицами Б. р.

Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделируетслучайную величину

, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

,

где

· обозначает факториал числа ,

· — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .