Моменты распределения случайной величины

Рассмотрим распределение дискретной случайной величины:

 

Х
P	0,6	0,2	0,19	0,01

 

Математическое ожидание данной величины равно 4,33.

Вычислим математическое ожидание квадрата случайной величины, предварительно составив ряд распределения Х ²:

 

Х^2
P	0,6	0,2	0,19	0,01

 

М (Х ²)=114,91.

 

Разница между М(Х) и М(Х ²) объясняется тем, что при возведении в квадрат возможных значений х, значение х =100 значительно увеличилось, а его вероятность осталась прежней. Переход от М(Х) к М(Х²) позволяет учесть влияние, которое оказывает на математическое ожидание то возможное значение случайной величины, которое велико и имеет малую вероятность. Поэтому возникает необходимость рассматривать математическое ожидание целой степени случайной величины.

Математическое ожидание k -той степени случайной величины называется начальным моментом k -того порядка:

.

Для вычисления начальных моментов используются формулы:

- для дискретной случайной величины

- для непрерывной случайной величины.

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию с.в., в с.д., .

Дисперсия случайной величины представляет собой разность начального момента второго порядка и квадрата начального момента первого порядка:

.

Центральным моментом k -того порядка называется математическое ожидание k -той степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

.

Для вычисления центральных моментов используются формулы:

- для дискретной случайной величины

- для непрерывной случайной величины.

Несложно показать, что ; .

Центральные моменты можно связать с начальным моментами посредством следующих равенств:

;

;

.

Моменты более высоких порядков встречаются редко.

Как уже было сказано ранее, числовые характеристики описывают различные особенности распределения случайных величин.

В частности, центральный момент третьего порядка служит характеристикой асимметрии (скошенности) распределения. Так как имеет размерность, равную кубу размерности случайной величины, то обычно для этой цели служит безразмерная величина, называемая коэффициентом асимметрии .

Если случайная величина распределена симметрично относительно своего математического ожидания, то . На рисунке показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию, второе (кривая II) - отрицательную асимметрию.

Четвертые центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью эксцесса. Эксцессом случайной величины Х называется величина .

Число 3 вычитается из отношения потому, что для весьма распространенного в природе нормального распределения =3. На рисунке представлены: нормальное распределение (кривая II), распределение с положительным эксцессом (кривая I) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).

 

Контрольные вопросы

 

1. Что называют числовыми характеристиками (или параметрами) случайной величины?

2. Как определяется математическое ожидание случайной величины: а) дискретной; б) непрерывной?

3. Что характеризует математическое ожидание случайной величины?

4. Сформулируйте свойства математического ожидания.

5. Как определяется дисперсия случайной величины?

6. Что характеризует дисперсия случайной величины?

7. Как выглядят формулы, определяющие дисперсию, для случайной величины: а) дискретной; б) непрерывной?

8. Сформулируйте свойства дисперсии.

9. Что такое среднее квадратическое отклонение случайной величины?

10. Что характеризует среднее квадратическое отклонение и в чем смысл его введения?

11. Как определяется начальный момент k -го порядка случайной величины?

12. Как определяется центральный момент k -го порядка случайной величины?

13. Как выглядят формулы, связывающие центральные моменты случайной величины с ее начальными моментами?

14. В чем состоит вероятностный смысл начальных и центральных моментов трех первых порядков?

Контрольные задания

 

1. Докажите свойства 3 – 4 математического ожидания для дискретной случайной величины.

2. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Х
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

 

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин: а) Х; б) –2 Х; в) 2 Х + 3,5.

3. Докажите свойства 3 – 5 дисперсии для дискретной случайной величины.

4. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в цель, если каждый стрелок производит: а) по одному выстрелу; б) по два выстрела.

5. Предприниматель рассматривает возможность покупки акций трех предприятий, по каждой из которых известна доходность, определяемая как отношение величины получаемого дохода за определенный период времени к цене акции и вероятности возможных значений доходности. Акции какого предприятия следует считать более доходными, если руководствоваться средним значением (математическим ожиданием) доходности?

 

Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
Доходность (в %)	Вероят-ность	Доходность (в %)	Вероят-ность	Доходность (в %)	Вероят-ность
	0,1		0,2		0,1
	0,4		0,3		0,4
	0,3		0,4		0,2
	0,2		0,1		0,3

 

6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей плотность распределения:

а) б)

Случайные величины независимы, имеют одно и то же математическое ожидание a и одинаковую дисперсию . Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих случайных величин.