Типы распределений дискретных случайных величин

 

Пусть Х – дискретная случайная величина. Название закона распределения определяется тем, как находится вероятность возможных значений этой с.в.

 

 

Биномиальное распределение

 

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и р, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями

, k = 1, 2, …, n, q = 1 – p.

Ряд распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону, имеет вид:

 

X				…	n
P				…

 

Биномиальное распределение является распределением числа «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятностью р «успеха» и вероятностью q = 1 – p «неудачи».

Если Х подчиняется биномиальному распределению, то верны следующие соотношения:

М(х)=np, D(x)=npq.

 

Гипергеометрическое распределение

Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами N, M, n (N, M, n – натуральные числа, , ), если она принимает значения с вероятностями

, ,

где , .

Ряд распределения случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, имеет вид:

 

X			…
P			…

 

Гипергеометрическое распределение является распределением числа объектов, обладающих заданным свойством среди n объектов, случайно извлеченных без возвращения из совокупности объектов, из которых M обладают этим свойством.

 

Геометрическое распределение

 

Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметрами р (0<p<1), если она принимает значения 1, 2, …, n, … с вероятностями

, , k = 1, 2, …, n, …

Геометрический закон распределения является распределением числа испытаний Бернулли до появления первого «успеха», включая последнее успешное испытание, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна р. Действительно, чтобы осуществить событие необходимо, чтобы произошло подряд «неудач» с вероятностью , а затем «успех» с вероятностью р.

Если Х подчиняется геометрическому распределению, то верны следующие соотношения:

;

 

Распределение Пуассона

 

Рассмотрим дискретную с.в. Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения, образующие бесконечную последовательность: 0, 1, 2, …, m, …

Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой

,

где , m =0, 1, …

Ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, имеет вид

 

X				…	m	…
P				…		…

 

Если Х подчиняется распределению Пуассона, то верны следующие соотношения:

М(х)=λ, D(x)=λ.

Характерной особенностью распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии параметру . Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.

Контрольные вопросы

 

15. Какое распределение вероятностей называется биномиальным распределением?

16. Какой смысл имеет с.в., распределенная по биномиальному закону с параметрами n и р?

17. Какое распределение вероятностей называется гипергеометрическим распределением?

18. Какими параметрами характеризуется гипергеометрическое распределение?

19. Какой смысл имеет с.в., распределенная по гипергеометрическому закону?

20. Какое распределение вероятностей называется геометрическим распределением? Чем объясняется такое название распределения?

21. Какой смысл имеет с.в., распределенная по геометрическому закону с параметром р?

22. Какое распределение вероятностей называется распределением Пуассона?

23. Почему закон распределения Пуассона также называют законом «редких событий»?

24. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения?

25. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии геометрического распределения?

26. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона?

Контрольные задания

 

1. Доказать, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой , где , k = 1, 2, …, n, … может задавать ряд распределения, т.е. .

2. Доказать, что математическое ожидание случайной величины, распределенной по геометрическому закону удовлетворяет формуле .

3. Доказать, что дисперсия случайной величины, распределенной по геометрическому закону удовлетворяет формуле .

4. Доказать, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой Пуассона, может представлять собой ряд распределения, т.е. сумма вероятностей равна единице.

5. Доказать, что математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона удовлетворяет формуле М(Х)= = .

6. Доказать, что дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона удовлетворяет формуле D(Х)= .

7. Доказать, что сумма двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона с параметрами а и b является также случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром а + b.