Функции нормального распределения

t	F (t)	f (t)	Ф(t)	t	F (t)	f (t)	Ф(t)
0,0	0,5000	0,3989	0,0000	1,6	0,9452	0,1109	0,8904
0,1	0,5398	0,3970	0,0797	1,7	0,9554	0,0940	0,9109
0,2	0,5793	0,3910	0,1585	1,8	0,9641	0,0790	0,9281
0,3	0,6179	0,3814	0,2358	1,9	0,9713	0,0656	0,9426
0,4	0,6554	0,3683	0,3108	2,0	0,9772	0,0540	0,9545
0,5	0,6915	0,3521	0,3829	2,1	0,9821	0,0440	0,9643
0,6	0,7257	0,3332	0,4515	2,2	0,9861	0,0355	0,9722
0,7	0,7580	0,3123	0,5161	2,3	0,9893	0,0283	0,9786
0,8	0,7881	0,2897	0,5763	2,4	0,9918	0,0224	0,9836
0,9	0,8159	0,2661	0,6319	2,5	0,9938	0,0175	0,9876
1,0	0,8413	0,2420	0,6827	2,6	0,9953	0,0136	0,9907
1,1	0,8643	0,2179	0,7287	2,7	0,9965	0,0104	0,9931
1,2	0,8849	0,1942	0,7699	2,8	0,9974	0,0079	0,9949
1,3	0,9032	0,1714	0,8064	2,9	0,9981	0,0060	0,9963
1,4	0,9192	0,1497	0,8385	3,0	0,9987	0,0044	0,9973
1,5	0,9332	0,1296	0,8664	3,1	0,9990	0,0033	0,9981

Рассмотрим, как определяется вероятность с помощью табл.2.6. Пусть имеется интервал от а = 2,72 до b = 2,96; известны также характеристики = 2,2 и s = 0,40. По формуле (2.24) вычислим нормированные значения t ₁ = (2,72 – 2,2)/0,40 = 1,31; t ₂ = (2,96 – 2,2)/0,40 = 1,90. В табл.2.6 найдем вероятности F (t ₁) = 0,9032; F (t ₂) = 0,9713. Отсюда имеем вероятность попадания случайной величины в заданный интервал q = F (t ₂) – F (t ₁) = 0,0681.

Задача нахождения вероятностей упрощается, если а и b симметричны относительно . Тогда достаточно найти t = t ₂ и вероятность q = Ф(t). Например, а = 1,94; b = 2,26; = 2,10; s = 0,32. Имеем t = (2,26 – 2,10)/0,32 = 0,50 и вероятность q = Ф(t) = 0,3829.

Интегралы вероятности (2.25) и (2.26), играющие большую роль, можно вычислять и без применения таблиц путем численного интегрирования на компьютере или с помощью пакета «Stat».

Часто приходится решать обратную задачу – находить интервал возможных значений случайной величины t при заданных вероятностях p, a, q или b. Если задана вероятность p = F (t), то соответствующее ей значение t называется квантилью распределения. Она является функцией, обратной интегралу вероятности (2.20), и обозначается t = F ^–1(p). Квантиль можно найти интерполяцией данных табл.2.6. Например, задана вероятность p = 0,9. В таблице имеются значения p = 0,8849 (при t = 1,2) и p = 0,9032 (при t = 1,3). Интерполируя эти значения, найдем, что при p = 0,9 квантиль t = 1,28. Квантили, соответствующие вероятностям 1/4; 2/4; 3/4, называются квартилями. Вторая квартиль, соответствующая вероятности p = 0,5, называется медианой распределения.

Наиболее часто используют значения t, соответствующие заданной вероятности q = Ф(t), они называются коэффициентами вероятности и служат критериями принятия разнообразных решений. Для нахождения коэффициента вероятности можно воспользоваться интерполяцией данных табл.2.6, но лучше иметь специальную табл.2.7 зависимости t от Ф(t). Например, задана вероятность q = 0,96, тогда соответствующий ей коэффициент вероятности t = 2,054. Табл.2.7 может быть использована и для нахождения квантилей. По заданной вероятности p вычисляется вероятность q = 2 p – 1 и по табл.2.7 определяется квантиль. Например, дана вероятность p = 0,9. Вычисляем q = 2×0,9 – 1 = 0,8, соответствующая ей квантиль t = 1,282.

 

Таблица 2.7

Коэффициенты вероятности t при заданной вероятности q = Ф(t)

 

q
0,0	0,000	0,013	0,025	0,038	0,050	0,063	0,075	0,088	0,100	0,130
0,1	0,126	0,138	0,151	0,164	0,176	0,189	0,202	0,215	0,228	0,240
0,2	0,253	0,266	0,279	0,292	0,305	0,319	0,332	0,345	0,358	0,372
0,3	0,385	0,399	0,412	0,426	0,440	0,454	0,468	0,482	0,496	0,510
0,4	0,524	0,539	0,553	0,568	0,583	0,598	0,613	0,628	0,643	0,659
0,5	0,674	0,690	0,706	0,722	0,739	0,755	0,772	0,789	0,806	0,824
0,6	0,842	0,860	0,878	0,896	0,915	0,935	0,954	0,974	0,994	1,015
0,7	1,036	1,058	1,080	1,103	1,126	1,150	1,175	1,200	1,227	1,254
0,8	1,282	1,311	1,341	1,372	1,405	1,440	1,476	1,514	1,555	1,598
0,9	1,645	1,695	1,751	1,812	1,881	1,960	2,054	2,170	2,326	2,576
0,99	2,576	2,612	2,652	2,697	2,748	2,807	2,878	2,968	3,090	3,291

 

На практике наиболее часто используются значения вероятностей q = 0,5 и q = 0,9 (b = 0,5 и b = 0,01). Им соответствуют коэффициенты вероятности t = 1,960 и t = 2,576. С другой стороны, часто задаются значения t = 2 и t = 3, им соответствуют вероятности q = 0,9545 и q = 0,9973 (см. табл.2.6).

 

2.2.3. Логарифмически-нормальный закон распределения

 

В тесной связи с нормальным находится логарифмически-нормальный (сокращенно логнормальный) закон распределения, широко применяемый в геохимии. Замечено, что этим законом удовлетворительно описывается частота появления низких содержаний химических элементов. Академик А.Н.Колмогоров теоретически обосновал логнормальное распределение частиц при дроблении, что используется при гранулометрическом анализе обломочных пород.

Логнормальный закон описывает ситуацию, когда нормальному распределению подчиняются логарифмы значений случайной величины. При расчетах вначале находят натуральные или десятичные логарифмы значений случайной величины. Далее вся работа ведется с логарифмами: вычисляют их среднее значение, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию, эксцесс, а по таблицам нормального закона определяют вероятности. Какие логарифмы – натуральные или десятичные – использовать для расчетов, не играет роли, потому что они связаны постоянным множителем: натуральные логарифмы в 2,3026 раз больше десятичных (2,3026 = ln10).

Случайная величина в логнормальном законе, в отличие от нормального, имеет область существования от нуля до +¥. Если присутствуют нулевые значения (или следы), что нередко бывает при спектральном и химическом анализах, то это вызывает трудности, так как логарифм нуля равен –¥. Обычно нулевые содержания заменяют какими-то минимальными значениями, например пределом чуствительности анализа. Существуют также способы обработки усеченных распределений, позволяющие получать статистические характеристики при отбрасывании крайних исходных значений.

Обозначим логарифм случайной величины: z = ln х. Плотность вероятности логарифмов описывается формулой нормального закона (2.22)

(2.28)

где – среднее значение логарифмов; s – среднеквадратичное отклонение логарифмов.

Плотность вероятности исходных значений х выражается формулой логнормального закона

(2.29)

График функции f (х) асимметричен (рис.2.9), среднее значение, мода и медиана не совпадают между собой. Они связаны с величинами и следующими соотношениями:

 

. (2.30)

Дисперсия исходных данных также определяется соотношением

. (2.31)

При малой дисперсии кривые плотности вероятности логнормального и нормального законов близки между собой и в пределе, при стремлении дисперсии к нулю, совпадают.

 

2.2.4. Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента, называемое также t -распреде­лением, играет большую роль – с его помощью проверяют гипотезы о равенстве средних значений случайных величин. Функция распределения Стьюдента выражается интегралом:

(2.32)

соответственно, плотность вероятности имеет вид

(2.33)

где k – число степеней свободы, Г – гамма-функция, выражаемая интегралом:

Г(х) = . (2.34)

Число степеней свободы зависит от числа измерений n случайной величины и от существа поставленной задачи. Если проверяется гипотеза о равенстве вычисленного среднего значения какому-то заранее заданному числу, то k = n – 1. Если сравниваются два средних значения из двух совокупностей с числом измерений n ₁ и n ₂, то k = n ₁ + n ₂ – 2. Могут быть и другие варианты гипотез.

Из функции (2.33) следует, что случайная величина t может принимать любые значения в пределах от –¥ до +¥.

Особенность распределения Стьюдента состоит в том, что его функции зависят от числа степеней свободы, а они, в свою очередь, – от числа измерений. При увеличении значения k распределение приближается к нормальному и в пределе (при k = ¥) совпадает с ним. Практически уже при k = 20 можно пользоваться таблицами нормального распределения.

Функция распределения (2.32) обычно приводится в табличном виде. Подробные сведения даны в справочнике Л.Н.Большева, Н.В.Смирнова [4]. Здесь приведены лишь некоторые значения (табл.2.8), из них видно, как с увеличением числа k функция распределения Стьюдента приближается к нормальному закону (последняя графа табл.2.8).

Плотность вероятности (2.33) имеет симметричный график, похожий на кривую нормального закона, но более вытянутый по горизонтальной оси (рис.2.10). При увеличении значения k график приближается к кривой нормального закона.

Таблица 2.8

Функция распределения Стьюдента F_k (t) в зависимости от числа

степеней свободы k

t	Число степеней свободы k
							¥
0,0	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000
0,5	0,6467	0,6667	0,6808	0,6860	0,6887	0,6903	0,6909	0,6915
1,0	0,7500	0,7887	0,8184	0,8284	0,8354	0,8388	0,8400	0,8413
1,5	0,8128	0,8638	0,9030	0,9178	0,9254	0,9299	0,9314	0,9332
2,0	0,8554	0,9082	0,9490	0,9633	0,9704	0,9744	0,9757	0,9772
2,5	0,8789	0,9352	0,9728	0,9843	0,9884	0,9921	0,9929	0,9938
3,0	0,8976	0,9523	0,9850	0,9933	0,9965	0,9979	0,9983	0,9987
3,5	0,9114	0,9636	0,9914	0,9971	0,9989	0,9995	0,9996	0,9998
4,0	0,9220	0,9714	0,9948	0,9987	0,9996	0,9999	0,9999
4,5	0,9304	0,9770	0,9968	0,9994	0,9999
5,0	0,9372	0,9811	0,9980	0,9997

 

Значения плотности вероятности обычно находят по таблицам, но их несложно вычислить, преобразовав формулу (2.33) к следующему виду:

Для нахождения А_k достаточно знать одно значение, например А ₁ = , и далее пользоваться рекуррентной формулой А_{k + 1} = k /2 A_k. Так, А ₂ = /2, А ₃ = 2/ и т.д. Некоторые зна­чения плотности ве­роятности приведены в табл.2.9. Последняя графа соответствует нормальному распределению.

 

Таблица 2.9

Плотность вероятности распределения Стьюдента f_k (t)

в зависимости от числа степеней свободы k

t	Число степеней свободы k
							¥
0,0	0,3183	0,3536	0,3796	0,3891	0,3940	0,3970	0,3979	0,3989
0,5	0,2546	0,2962	0,3279	0,3397	0,3458	0,3495	0,3508	0,3521
1,0	0,1592	0,1925	0,219	0,2304	0,2360	0,2396	0,2408	0,2420
1,5	0,0979	0,1141	0,1245	0,1274	0,1286	0,1292	0,1294	0,1295
2,0	0,0637	0,0680	0,0651	0,0611	0,0581	0,0558	0,0549	0,0540
2,5	0,0439	0,0422	0,0333	0,0269	0,0227	0,0197	0,0186	0,0175
3,0	0,0318	0,0274	0,0173	0,0114	0,0080	0,0058	0,0051	0,0044
3,5	0,0240	0,0186	0,0092	0,0048	0,0026	0,0015	0,0012	0,0009
4,0	0,0187	0,0131	0,0051	0,0020	0,0008	0,0003	0,0002	0,0001
4,5	0,0150	0,0095	0,0029	0,0009	0,0003	0,0001	0,0000	0,0000
5,0	0,0122	0,0071	0,0018	0,0004	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000

 

Асимметрия распределения Стьюдента равна нулю, а эксцесс отрицательный. Как и в случае нормального закона, для распределения Стьюдента может быть вычислена функция Ф _k (t) = 2 F_k (t) – 1, которая характеризует вероятность q попадания случайной величины в симметричный интервал от – t до + t.

На практике для принятия решений чаще используется противоположный показатель b = 1 – q. Можно составить таблицу зависимости b от t при различных степенях свободы k. Но гораздо важнее знать обратную функцию: чему равно значение коэффициента t при заданной вероятности b и известной степени свободы k (табл.2.10), так как коэффициент t часто используют в качестве критерия принятия решений. Именно такие таблицы с различными вариациями и приводятся в разнообразных справочниках. Например, задана вероятность b = 0,05 = 5 % и число степеней свободы k = 15. Из табл.2.10 имеем t = 2,131.

Таблица 2.10

Коэффициенты вероятности t распределения Стьюдента

при заданной вероятности b и степени свободы k

k	Вероятность b
0,10	0,05	0,02	0,01	0,005	0,002	0,001
	6,314	12,706	31,821	63,657	127,321	318,309	636,619
	2,920	4,303	6,965	9,925	14,089	22,327	31,599
	2,353	3,182	4,541	5,841	7,453	10,214	12,924
	2,132	2,776	3,747	4,604	5,597	7,173	8,610
	2,015	2,571	3,365	4,032	4,773	5,893	6,869
	1,943	2,447	3,143	3,707	4,317	5,208	5,959
	1,895	2,365	2,998	3,499	4,029	4,785	5,408
	1,860	2,306	2,896	3,355	3,833	4,501	5,041
	1,833	2,262	2,821	3,250	3,690	4,297	4,781
	1,812	2,228	2,764	3,169	3,581	4,144	4,587
	1,796	2,201	2,718	3,106	3,497	4,025	4,437
	1,782	2,179	2,681	3,055	3,428	3,930	4,318
	1,771	2,160	2,650	3,012	3,372	3,852	4,221
	1,761	2,145	2,624	2,977	3,326	3,787	4,140
	1,763	2,131	2,602	2,947	3,286	3,733	4,073
	1,746	2,120	2,583	2,921	3,252	3,686	4,015
	1,740	2,110	2,567	2,898	3,222	3,645	3,985
	1,734	2,101	2,552	2,878	3,197	3,610	3,922
	1,729	2,093	2,540	2,861	3,174	3,579	3,883
	1,725	22,086	2,528	2,845	3,153	3,552	3,849
	1,717	2,074	2,508	2,819	3,119	3,505	3,792
	1,711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,467	3,745
	1,706	2,056	2,479	2,779	3,067	3,435	3,707
	1,701	2,048	2,467	2,763	3,047	3,408	3,674
	1,697	2,042	2,457	2,750	3,030	3,385	3,646
	1,684	2,021	2,423	2,704	2,971	3,307	3,551
	1,676	2,009	2,403	2,678	2,937	3,261	3,496
	1,660	1,984	2,364	2,626	2,871	3,174	3,390
b	1,645	1,960	2,326	2,576	2,807	3,090	3,291

 

Если число степеней свободы велико (несколько десятков и более), то можно пользоваться таблицами нормального закона (см. табл.2.7). Так, при b = 0,01 имеем q = 1 – b = 1 – 0,01 = 0,99 и по табл.2.7 находим t = 2,576.

Таким образом, распределения нормальное и Стьюдента близки между собой. При малом числе измерений (и, соответственно, степеней свободы) более надежные выводы могут быть сделаны по таблицам распределения Стьюдента, а при большом числе наблюдений следует пользоваться таблицами нормального закона.

 

 

2.2.5. Распределение c²

 

Распределение c² служит преимущественно для проверки гипотез о соответствии наблюдаемых частот теоретичеcким законам распределения. Плотность вероятности распределения описывается формулой

, (2.35)

где k – число степеней свободы, зависящее от числа классов гистограммы n_k (обычно k = n_k – 3).

Случайная величина c² имеет область существования от нуля до +¥. График плотности вероятности асимметричен (рис.2.11), модальное значение = k – 2.

При увеличении числа степеней свободы распределение c² приближается к нормальному с математическим ожиданием k и дисперсией 2 k. Практически при числе степеней свободы k > 30 можно переходить к таблицам нормального распределения, заменив величину c² нормированной случайной величиной t:

(2.36)

Для практических целей требуется иметь таблицу коэффициентов вероятности, играющих роль критериев. В зависимости от вероятности a при заданной степени свободы k (табл.2.11) критерию c² соответствует заштрихованная площадь на рис.2.11.

 

Таблица 2.11

Коэффициенты вероятности распределения c²

при заданных вероятности a и числе степеней свободы k

 

k	Вероятность a	k	Вероятность a
0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
	2,71	3,84	5,02	6,64	7,88		23,54	26,30	28,84	32,00	34,27
	4,60	5,99	7,38	9,21	10,66		24,77	27,59	30,19	33,41	35,72
	6,25	7,82	9,35	11,34	12,54		25,99	28,87	31,53	34,80	37,16
	7,78	9,49	11,14	13,28	14,86		27,20	30,14	32,85	36,19	38,58
	9,24	11,07	12,83	15,09	16,75		28,41	31,41	34,17	37,57	40,00
	10,64	12,59	14,45	16,81	18,55		29,62	32,67	35,48	38,93	41,40
	12,02	14,07	16,01	18,48	20,28		30,81	33,92	36,78	40,29	42,80
	13,36	15,51	17,54	20,09	21,96		32,01	35,16	38,08	41,64	44,18
	14,68	16,92	19,02	21,67	23,59		33,20	36,42	39,36	42,98	45,56
	15,99	18,31	20,48	23,21	25,19		34,38	37,65	40,65	44,31	46,93
	17,28	19,68	21,92	24,72	26,76		35,56	38,88	41,92	45,64	46,29
	18,55	21,03	23,34	26,22	28,30		36,74	40,11	43,19	46,96	49,64
	19,81	22,36	24,74	27,69	29,82		37,92	41,34	44,46	48,28	50,99
	21,06	23,68	26,12	29,14	31,32		39,09	42,56	45,72	49,59	52,34
	22,31	25,00	27,49	30,58	32,80		40,26	43,77	46,98	50,89	53,67

 

8 Пример 2.3. Выбрана вероятность a = 0,05, число степеней свободы k = 15. Необходимо найти c².

Из табл.2.11 получаем c² = 25,0. Если число степеней свободы большое (например, k = 50), а вероятность та же, то воспользуемся табл.2.6 нормального закона, для чего найдем Ф(t) = 1 – 2a = 0,90, ей соответствует найденное интерполяцией значение t = 1,645. Из формулы (2.35) следует, что c² = 66,45. Для сравнения точное значение c² = 67,50.7

 

 

2.2.6. Распределение Фишера

 

Распределение Фишера,называемое также F -распределе­нием, используется для проверки гипотезы о равенстве дисперсий случайных величин. В качестве критерия служит отношение несмещенных оценок дисперсий F = , причем в числитель отношения всегда помещают бόльшую дисперсию, т.е. > . Плотность вероятности распределения величины F выражается формулой

, (2.37)

где k ₁ и k ₂ – количество степеней свободы, зависящее от числа измерений случайных величин n ₁ и n ₂, т.е. k ₁ = n ₁ – 1 и k ₂ = n ₂ – 1.

График плотности вероятности асимметричен (рис.2.12) и имеет максимум (моду)

. (2.38)

Практическое значение имеет зависимость коэффициента t (критерия) от вероятности a (ей соответствует заштрихованная площадь на рис.2.12) при заданных степенях свободы k ₁ и k ₂. Оценивается вероятность того, что отношение превысит некоторое критическое значение t. Если отношение больше t, то дисперсии различаются между собой с вероятностью p = 1 – a.

 

Таблица 2.12

Коэффициенты вероятности F -распределения при a = 0,05 = 5 %

 

k 2	Число степеней свободы k 1
														¥
	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79	8,70	8,66	8,62	8,59	8,57	8,55	8,53
	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,86	5,80	5,75	5,72	5,69	5,66	5,63
	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74	4,62	4,56	4,50	4,46	4,43	4,40	4,36
	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	3,94	3,87	3,81	3,77	3,74	3,70	3,67
	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64	3,51	3,44	3,38	3,34	3,30	3,27	3,23
	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35	3,22	3,15	3,08	3,04	3,01	2,97	2,93
	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14	3,01	2,94	2,86	2,83	2,79	2,75	2,71
	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98	2,85	2,77	2,70	2,66	2,62	2,58	2,54
	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54	2,40	2,33	2,25	2,20	2,16	2,11	2,07
	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35	2,20	2,12	2,04	1,99	1,95	1,90	1,84
	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16	2,01	1,93	1,84	1,79	1,74	1,68	1,62
	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08	1,92	1,84	1,74	1,69		1,58	1,51
	2,76	2,63	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99	1,84	1,75	1,65	1,59	1,53	1,47	1,39
	2,68	2,45	2,29	2,18	2,09	2,02	1,96	1,91	1,75	1,66	1,55	1,50	1,43	1,35	1,25
¥	2,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,88	1,83	1,67	1,57	1,46	1,39	1,32	1,22	1,00

 

Коэффициент t зависит от трех величин: вероятности a, степеней свободы k ₁ и k ₂, что трудно отобразить в одной таблице, поэтому применяется серия таблиц с различными значениями вероятности a. В качестве примера приведена табл.2.12 значений коэффициента t при наиболее часто используемой вероятности a = 0,05.

 

8 Пример 2.4. Необходимо сравнить две дисперсии: = = 5,22 и = 1,86. Число измерений соответственно n ₁ = 16, n ₂ = 31.

Находим отношение F = 5,22/1,86 = 2,81, степени свободы k ₁ = 16 – 1 = 15, k ₂ = 31 – 1 = 30. Из табл.2.12 имеем t = 2,01. Поскольку значение F = 2,81 больше критерия t = 2,01, дисперсии и различаются между собой с вероятностью более p = 1 – 0,05 = = 0,95.7

 

 

2.2.7. Построение графика плотности вероятности,

проверка гипотезы о законе распределения

 

Во многих случаях желательно построить график кривой плотности вероятности того или иного закона распределения и совместить его с гистограммой, что позволяет наглядно оценить степень их сходства. В процессе расчета точек кривой можно получить количественные меры соответствия фактической гистограммы теоретическому закону распределения случайной величины.

Рассмотрим построение кривой плотности вероятности нормального закона на примере данных табл.2.4 и рис.2.1. Чтобы построить кривую, необходимо рассчитать значения функции f (t) по формуле (2.22) и нанести их на график. Имеет смысл рассчитать лишь те значения, которые соответствуют серединам классов гистограммы. Расчет выполнен по форме табл.2.13, в которой первые семь граф заимствованы из табл.2.5. Они нужны для расчета статистических характеристик. Для построения кривой достаточно иметь две характеристики: среднее значение и дисперсию. В качестве аргумента можно брать номера классов у, что значительно упрощает расчеты. В результате вычислений получены = 6,40; s _у = 2,53. Далее по формуле (2.24) нужно перейти от условной величины у к нормированной величине t:

.

Зная t, можно рассчитать плотность вероятности f (t) либо по табл.2.6, либо по формуле (2.22). Все необходимые расчеты выполнены в табл.2.13.

 

Таблица 2.13