Преобразованная матрица коэффициентов корреляции

Компонент	Fe	Co	S	Cu	Ni	Zn	Pb	Ag	CO2	Ппп	Ca	Mn	Si	Al	Na	Ti	K	Mg	P
Fe	1,000	0,710	0,584	0,418	0,242	0,082	0,146	0,036	–0,196	–0,181	–0,798	–0,411	–0,900	–0,818	–0,692	–0,676	–0556	–0,421	–0,266
Co	0,710	1,000	0,832	0,482	0,365	0,072	0,128	0,105	–0,017	0,006	–0,517	–0,475	–0,715	–0,679	–0,586	–0,576	–0,454	–0,318	–0,123
S	0,584	0,832	1,000	0,549	0,349	0,012	0,041	0,077	0,084	0,126	–0,377	–0,419	–0,612	–0,662	–0,542	–0,497	–0,398	–0,371	–0,108
Cu	0,418	0,482	0,549	1,000	0,213	0,116	0,079		–0,321	–0,267	–0,415	–0,201	–0,299	–0,245	–0,195	–0,145	–0,189	–0,185	0,014
Ni	0,242	0,365	0,349	0,213	1,000	0,006	0,114	–0,081	–0,079	–0,015	–0,241	–0,290	–0,209	–0,255	–0,268	–0,250	–0,141	–0,022	0,072
Zn	0,082	0,072	0,012	0,116	0,006	1,000	0,604		–0,256	–0,275	–0,104	0,136	0,013	0,014	–0,027	0,080	–0,059	0,030	–0,057
Pb	0,146	0,128	0,041	0,079	0,114	0,604	1,000	0,369	–0,099	–0,091	–0,127	0,057	–0,116	–0,108	–0,121	–0,050	–0,091	0,013	–0,002
Ag	0,036	0,105	0,077	0,105	–0,081	0,576	0,369	1,000	0,058	0,049	–0,009	0,034	–0,045	–0,084	0,015	0,021	–0,020	–0,039	–0,071
CO2	–0,196	–0,017	0,084	–0,321	–0,079	–0,256	–0,099	0,058	1,000	0,951	0,544	–0,244	–0,136	–0,255	–0,123	–0,226	–0,078	–0,224	–0,117
Ппп	–0,181	0,006	0,126	–0,267	–0,015	–0,275	–0,091	0,049	0,951	1,000	0,488	–0,062	–0,158	–0,255	–0,175	–0,250	–0,082	–0,112	–0,110
Ca	–0,798	–0,517	–0,377	–0,415	–0,241	–0,104	–0,127	–0,009	0,544	0,488	1,000	0,565	0,596	0,447	0,356	0,417	0,344	0,151	0,174
Mn	–0,411	–0,475	–0,419	–0,201	–0,290	0,136	0,057	0,034	–0,244	–0,062	0,565	1,000	0,604	0,588	0,387	0,583	0,440	0,354	0,222
Si	–0,900	–0,715	–0,612	–0,299	–0,209	0,013	–0,116	–0,045	–0,136	–0,158	0,596	0,604	1,000	0,902	0,781	0,779	0,582	0,417	0,300
Al	–0,818	–0,679	–0,662	–0,245	–0,255	0,014	–0,108	–0,084	–0,255	–0,255	0,447	0,588	0,902	1,000	0,808	0,765	0,613	0,433	0,270
Na	–0,692	–0,586	–0,542	–0,195	–0,268	–0,027	–0,121	0,015	–0,123	–0,175	0,356	0,387	0,781	0,808	1,000	0,625	0,319	0,142	0,204
Ti	–0,676	–0,576	–0,497	–0,145	–0,250	0,080	–0,050	0,021	–0,226	–0,250	0,417	0,583	0,779	0,765	0,625	1,000	0,487	0,317	0,228
K	–0,556	–0,454	–0,398	–0,189	–0,141	–0,059	–0,091	–0,020	–0,078	–0,082	0,344	0,440	0,582	0,613	0,319	0,487	1,000	0,242	0,272
Mg	–0,421	–0,318	–0,371	–0,185	–0,022	0,030	0,013	–0,039	–0,244	–0,112	0,151	0,354	0,417	0,433	0,142	0,317	0,242	1,000	0,150
P	–0,266	–0,123	–0,108	0,014	0,072	–0,057	–0,002	–0,071	–0,117	–0,110	0,174	0,222	0,300	0,270	0,204	0,228	0,272	0,150	1,000

значения которой записаны в боковике и в головке табл.4.10. Произведения данных боковика и головки табл.4.10 дают матрицу коэффициентов первого фактора в этой таблице. Так, умножив 0,620 на 0,490, получим член матрицы 0,304. Таким же способом получены остальные члены матрицы (табл.4.10).

 

Таблица 4.8

Матрица коэффициентов корреляции

Компонент	TiO2	MnO	V2O5	SiO2	Al2O3	MgO	CaO
TiO2	1,000	0,449	0,247	0,206	0,426	0,396	0,355
MnO	0,449	1,000	0,408	0,170	0,140	0,105	0,188
V2O5	0,247	0,408	1,000	0,387	–0,096	0,448	0,550
SiO2	0,206	0,170	0,387	1,000	0,063	0,439	0,553
Al2O3	0,426	0,140	–0,096	0,063	1,000	0,039	–0,105
MgO	0,396	0,105	0,448	0,439	0,039	1,000	0,695
CaO	0,355	0,188	0,550	0,553	–0,105	0,696	1,000

 

 

Таблица 4.9

Расчет первого собственного числа

Коэффициент корреляции	Собственное число W
1,000	0,449	0,247	0,206	0,426	0,396	0,355	3,079	2,627	…	2,179
0,449	1,000	0,408	0,170	0,140	0,105	0,188	2,460	2,059	…	1,722
0,247	0,408	1,000	0,387	–0,096	0,448	0,550	2,944	2,781	…	2,563
0,206	0,170	0,387	1,000	0,063	0,439	0,553	2,818	2,553	…	2,371
0,426	0,140	–0,096	0,063	1,000	0,039	–0,105	1,467	0,865	…	0,450
0,396	0,105	0,448	0,439	0,039	1,000	0,695	3,122	2,924	…	2,736
0,355	0,188	0,550	0,553	–0,105	0,696	1,000	3,236	3,086	…	2,934
Вектор V
0,951	0,760	0,910	0,871	0,453	0,965	1,000
0,851	0,667	0,885	0,627	0,280	0,948	1,000	λ1 = 2,934
…	…	…	…	…	…	…
0,743	0,587	0,874	0,808	0,153	0,933	1,000

Таблица 4.10

Расчет матрицы коэффициентов первого фактора

Ф1	0,620	0,490	0,730	0,675	0,128	0,779	0,835
0,620	0,384	0,304	0,453	0,418	0,079	0,483	0,518
0,490	0,304	0,240	0,358	0,331	0,063	0,382	0,409
0,730	0,453	0,358	0,533	0,493	0,093	0,569	0,610
0,675	0,418	0,331	0,493	0,456	0,086	0,526	0,564
0,128	0,079	0,063	0,093	0,086	0,016	0,100	0,167
0,779	0,483	0,382	0,569	0,526	0,100	0,607	0,650
0,835	0,518	0,409	0,610	0,564	0,107	0,650	0,697

 

Если из матрицы коэффициентов корреляции (см. табл.4.8) вычесть почленно матрицу (табл.4.10), то получим первую остаточную матрицу коэффициентов корреляции после исключения первого фактора (табл.4.11).

 

 

Таблица 4.11

Первая остаточная матрица коэффициентов корреляции

0,616	0,145	–0,206	–0,212	0,347	–0,087	–0,163
0,145	0,760	0,050	–0,161	0,077	–0,277	–0,221
–0,206	0,050	0,467	–0,106	–0,189	–0,121	–0,060
–0,212	–0,161	–0,106	0,544	–0,023	–0,087	–0,011
0,347	0,077	–0,189	–0,023	0,984	–0,061	–0,212
–0,087	–0,277	–0,121	–0,087	–0,061	0,393	0,045
–0,163	–0,221	–0,060	–0,011	–0,212	0,045	0,303

 

С первой остаточной матрицей повторяется итерационный процесс по образцу табл.4.9, что дает второе собственное число λ₂ и второй вектор Ф₂. Исключив влияние второго фактора по образцу табл.4.10 и 4.11, получим вторую остаточную матрицу. Процесс нахождения собственных чисел l и векторов факторных нагрузок Ф повторяется k раз. При этом все члены последней остаточной матрицы будут равны нулю, что служит одним из способов проверки правильности вычислений.

Результаты расчета систематизируем в табл.4.12. Факторы расположим в порядке убывания собственных чисел l. Для контроля можно убедиться, что сумма собственных чисел равна числу свойств. Чем больше собственное число, тем больше роль соответствующего фактора. Роль факторов выражают в процентах от суммы факторов (последняя строка табл.4.12).

 

Таблица 4.12

Факторные нагрузки

Компонент	Фактор
TiO2	0,620	0,605	0,068	–0,267	–0,230	–0,301	–0,134
MnO	0,490	0,438	–0,676	0,105	–0,175	0,257	0,056
V2O5	0,730	–0,200	–0,397	0,030	0,483	–0,172	–0,081
SiO2	0,675	–0,199	0,228	0,632	–0,189	–-0,045	–0,125
Al2O3	0,128	0,811	0,404	0,198	0,315	0,085	0,131
MgO	0,779	–0,189	0,334	–0,316	0,053	0,329	–0,187
CaO	0,835	–0,320	0,135	–0,121	–0,093	–0,061	0,393
l	2,934	1,434	0,964	0,647	0,464	0,308	0,250
l, %	41,9	20,5	13,8	9,2	6,6	4,4	3,6

 

Из данных табл.4.12 следует, что на долю первых трех факторов приходится 76,2 % нагрузки (информации), остальными факторами можно пренебречь. В первом по значению факторе (41,9 % нагрузки) все компоненты вектора положительные. Этот факт указывает на то, что есть какая-то геологическая причина, которая вызывает одновременное возрастание содержаний всех компонентов магнетита. Среди компонентов есть такие, которые входят в состав магнетита как изоморфные примеси (титан, ванадий, марганец, часть алюминия и магния) и как механические примеси других минералов в пробах (кремний, алюминий, магний и кальций). Одновременное вхождение в состав проб изоморфных и механических примесей можно объяснить высокой скоростью кристаллизации магнетита, в результате чего руды становятся тонкозернистыми. В тонкозернистых рудах магнетит обычно обогащен изоморфными примесями, а при отборе проб неизбежно будут захвачены посторонние минералы.

Второй фактор (20,5 % нагрузки) имеет положительные максимальные коэффициенты у алюминия, титана и марганца, остальные коэффициенты отрицательные. Фактор, который способствует накоплению в пробах алюминия, титана и марганца, вероятнее всего, – состав замещаемых магнетитом пород. При образовании магнетита по алюмосиликатным породам в пробах обычно повышено содержание алюминия и титана, а при образовании по известнякам – содержание кальция, что и подтверждается соответствующими факторными нагрузками.

В третьем факторе (13,8 % нагрузки) большие отрицательные коэффициенты у марганца и ванадия и положительные – у остальных компонентов. Третий фактор можно объяснить либо чистотой отбора проб, либо тем, что эти пробы взяты из висячего бока рудных тел, где обычно накапливаются подвижные компоненты – ванадий и марганец.

Таким образом, можно дать следующее объяснение результатам факторного анализа: состав проб магнетита зависит от скорости кристаллизации руд, типа замещаемых пород и чистоты отбора проб. Но не исключено, что могут быть предложены и другие объяснения закономерностей изменения состава магнетита. Обычно хорошо интерпретируются те факторы, у которых собственные числа больше единицы. Это два-три ведущих фактора.

В рассматриваемом методе, как указывалось, происходит перенос и вращение системы координат. Имеет смысл определить новые координаты точек (т.е. главные компоненты), что осуществляется с помощью векторов Ф, которые представляют собою направляющие косинусы углов между осями старой и новой систем координат. Прежде чем рассчитывать новые координаты, необходимо исходные данные нормировать по формуле (2.24) (табл.4.13).

Новые координаты (главные компоненты) вычисляют по формуле

(4.11)

Таблица 4.13