Двухмерная статистическая модель

 

 

3.1.1. Система двух случайных величин и ее графическое изображение

Во многих геологических задачах изучают два взаимосвязанных свойства множества геологических объектов. Такой анализ проводится на основе двухмерной статистической модели.

Пусть имеется система из n однородных геологических объектов, у каждого из них измерены характеристики двух свойств. Результаты измерений одного свойства обозначим х ₁, х ₂, …, х_n, второго свойства у ₁, у ₂, …, у_n. Их можно записать в виде таблицы-матрицы (1.1), в которой число строк равно n, а число столбцов k = 2.

В основе двухмерной модели лежат те же гипотезы, что и в основе одномерной: а) значения х ₁, х ₂, …, х_n, у ₁, у ₂, …, у_n носят случайный характер; б) значения первого свойства х ₁, х ₂, …, х_n не зависят между собой, значения второго свойства у ₁, у ₂, …, у_n также не зависят между собой (но могут существовать зависимости между свойствами х и у); в) совокупность измеренных свойств является однородной. Система значений х ₁, х ₂, …, х_n, у ₁, у ₂, …, у_n называется системой двух случайных величин, двухмерной случайной величиной или случайным вектором.

Результаты измерений двухмерной случайной величины принято изображать на графике, где по оси абсцисс откладывают характеристику одного свойства, а по оси ординат – другого. Каждый геологический объект на таком графике изображают точкой, а множество объектов – облаком точек (рис.3.1). Расположение точек на графике позволяет сделать предварительные выводы о характере зависимости между свойствами. Если точки расположены вдоль линии (рис.3.1, а, б), то между характеристиками свойств имеется функциональная зависимость. Она может быть линейной и нелинейной. Если же точки расположены беспорядочно (рис.3.1, в), то зависимости между характеристиками свойств нет. Чаще всего точки располагаются в виде облака, группирующегося вдоль какой-то линии (рис.3.1, г, д), в этом случае наблюдается нестрогая статистическая зависимость между свойствами. Она также может быть линейной и нелинейной. Функциональные и статистические зависимости могут быть положительными, когда с возрастанием характеристики одного свойства увеличивается и другая (рис.3.1, а, г), но могут быть и отрицательными, когда характеристика одного свойства растет, а другого убывает (рис.3.1, б, д). Иногда точки могут образовать два и более изолированных или частично перекрывающихся облака (рис.3.1, е), что свидетельствует о двух и более однородных совокупностях, которые следует изучать раздельно.

3.1.2. Статистические характеристики системы

двух случайных величин. Коэффициент корреляции

 

Система двух случайных величин имеет пять основных статистических характеристик: средние значения и , дисперсии и и корреляционный момент (или ковариацию) K_ху, которые вычисляют по формулам:

(3.1)

(3.2)

. (3.3)

Первые четыре формулы встречались ранее. Особый интерес представляет пятая формула, которая отражает взаимосвязь между случайными величинами х и у. Поскольку корреляционный момент имеет размерность, его преобразуют в безразмерную величину по формуле

. (3.4)

Величина r играет чрезвычайно большую роль в статистических исследованиях и называется коэффициентом корреляции. Его значения заключены в интервале между +1 и –1. Если коэффициент корреляции равен нулю, то линейная связь между случайными величинами отсутствует (рис.3.1, в). При r = 1 связь функциональная положительная (см. рис.3.1, а). При r = –1 связь функциональная отрицательная (см. рис.3.1, б). В реальных условиях коэффициент корреляции не бывает равен единице (или минус единице) и характеризует степень статистической связи между свойствами х и у. Чем ближе по абсолютной величине r к единице, тем сильнее связь между свойствами; она может быть положительной (r > 0) и отрицательной (r < 0). Таким образом, коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости между двумя величинами. Для оценки нелинейных зависимостей он непригоден.

На вычисленную величину r _в заметно влияет случайная погрешность измерений исходных данных, уменьшая истинное значение коэффициента корреляции r:

(3.5)

где и – дисперсии случайной погрешности измерений величин х и у соответственно.

Влияние погрешности может оказаться настолько значительным, что зависимость между случайными величинами не будет выявлена.

Статистическая линейная связь между характеристиками двух свойств считается доказанной, если критерий t будет больше предельного t _доп. Коэффициент корреляции, при котором связь считается доказанной, называется значимым коэффициентом корреляции. Для установления значимости используется критерий t, основанный на распределении Стьюдента с числом степеней свободы k = n – 2:

при , (3.6)

где S_r – оценка среднеквадратичного отклонения коэффициента корреляции.

Если критерий t будет больше допустимого t _доп при заданной вероятности b (см. табл.2.10), то связь считается доказанной. Имеет смысл принять вероятность b = 0,0027, что соответствует правилу «трех сигм».

При большом значении n можно пользоваться более простым критерием, основанным на нормальном законе распределения:

при . (3.7)

Если t > 3 (что соответствует вероятности b = 0,0027), то связь считается доказанной.

Еще один критерий предложен Фишером:

при , (3.8)

где z – новая переменная, полученная преобразованием коэффициента корреляции через гиперболический арктангенс,

. (3.9)

И здесь для доказательства связи необходимо выполнение условия t > 3.

Из соотношения (3.6) выводится формула значимого коэффициента корреляции

. (3.10)

Так как t _доп зависит от числа наблюдений (точнее, от числа степеней свободы k = n – 2), то и значимый коэффициент корреляции зависит от числа наблюдений. При увеличении числа наблюдений, как следует из соотношения (3.7), формула (3.10) упрощается:

. (3.11)

Обычно принимается значение t _доп = 3.

 

8 Пример 3.1. Известны содержания общего и магнетитового железа в руде. Требуется рассчитать коэффициент корреляции между этими величинами (табл.3.1).

Таблица 3.1