Занятие 12. Закон нормального распределения.

Краткая теоретическая часть

Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид

или

,

где - среднее квадратическое отклонение, - срединное отклонение (иногда называемое и «вероятным отклонением»),

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в интервал вычисляется по одной из следующих формул:

1) ,

где - функция Лапласа (интеграл вероятности);

2) ,

где - приведенная функция Лапласа.

Значения функций и даны в специальных таблицах.

Во всех задачах данного параграфа ошибки измерения считаются нормальными величинами.

 

Тест

1. Нормальное распределение играет достаточно важную роль в теории вероятностей и среди законов занимает особое положение. Укажите причины, по которым, на Ваш взгляд, это происходит:

а) Это наиболее часто употребляемый во многих приложениях закон распределения

б) Нормальный закон распределения применим как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин

в) Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому сходятся другие при весьма типичных часто встречающихся условиях

г) Нормальный закон распределения таков, что позволяет характеризовать сравнительную крутость других законов относительно него

 

2. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид:

а)

б)

в) или

г)

д)

е) или

 

3. Параметры и закона нормального распределения совпадают с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением нормально распределенной случайной величины соответственно. Следовательно, они определенным образом характеризуют случайную величину. А как? Выберите наиболее точный, на Ваш взгляд, вариант ответа.

а) Характеризуют форму кривой распределения и положение распределения случайной величины на оси абсцисс соответственно

б) Характеризуют положение распределения случайной величины на оси абсцисс и форму кривой распределения соответственно

в) Определяют центр рассеянья и центр симметрии случайной величины соответственно

г) Определяют центр симметрии и центр рассеянья случайной величины соответственно

 

4. Какой особенностью обладают моменты нормального распределения?

а) Все четные центральные моменты равны нулю.

б) Все нечетные центральные моменты равны нулю.

в) Все центральные моменты равны нулю

 

5. Одной из формул, по которым можно вычислить вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал является (здесь - функция Лапласа (интеграл вероятности)):

а)

б)

в)

г)

6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, обладают следующим свойством:

а) равны нулю

б) равны между собой

в) равны параметру Пуассона

 

Решение типовых задач

Пример 12.1. Измерение дальности до объекта сопровождается систематическими и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением =100 м. Найти:

1) вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м,

2) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной.

Решение.

Обозначим через X суммарную ошибку измерения дальности. Ее систематическая составляющая — 50 м. Следовательно, плотность вероятности суммарной ошибки имеет вид

.

1) Согласно общей формуле имеем

.

Интеграл вероятности является функцией нечетной, поэтому

Отсюда

.

Из таблицы находим

;

окончательно

.

2) Вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной,

.

Так как , а из таблицы находим , то

.

Пример 12.2. Определить срединную ошибку прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ± 20 м.

Решение.

Из условия задачи следует, что

.

Неизвестное значение срединной ошибки находим как решение уравнения

.

С помощью таблицы получим

,

откуда

м.

12.4. Задачи для самостоятельной работы

12.1. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и среднюю квадратическую ошибку 75 м, Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 м?

(Ответ: )

 

12.2. Систематическая ошибка удержания высоты самолетом +20 м, а случайная ошибка имеет среднее квадратическое отклонение 75 м. Для полета самолета отведен коридор высотой 100 м. Какова вероятность, что самолет будет лететь ниже, внутри и выше коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине коридора?

(Ответ: p _ниже=0,18; p _внутри=0,48; p _выше=0,34)

 

12.3. Срединная ошибка измерения дальности радиолокатором равна 25 м, а систематическая ошибка отсутствует. Определить:

а) дисперсию ошибок измерения дальности;

б) вероятность получения ошибки измерения дальности, по абсолютной величине не превосходящей 20 м.

(Ответ: а) 1372 м²; б) 0,4105)

12.4. Случайное отклонение размера детали от номинала при изготовлении ее на данном станке имеет нулевое математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, равное 5 мк. Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,9 среди них была хотя бы одна годная, если для годной детали допустимо отклонение размера от номинала не более, чем на 2 мк?

(Ответ: )

 

12.5. Даны две случайные величины X и Y, имеющие одинаковые дисперсии, но первая распределена нормально,а вторая равномерно. Определить соотношение между их срединными отклонениями.

(Ответ: )

 

12.6. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание м и срединное отклонение 10 м. Вычислить таблицу функции распределения для значений аргумента через каждые 10 м и построить график.

(Ответ: См. таблицу

	-65	-55	-45	-35	-25	-15	-5	+5	+15	+25	+35
					25 000	50 000	75 000	91 135	97 850	99 650	99 965

)

 

12.7. Систематическая ошибка высотомера равна +20 м, а случайные ошибки распределены по нормальному закону. Какую среднюю квадратическую ошибку должен иметь высотомер, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка измерения высоты по абсолютной величине была меньше 100 м?

(Ответ: . Получающееся трансцендентное уравнение проще решить графически)

 

12.8. Найти связь между средним арифметическим отклонением

нормально распределенной случайной величины и ее средним квадратическим отклонением.

(Ответ: )

 

12.9. Определить для нормально распределенной случайной величины X, имеющей М [X] = 0,

1)

2) (при

(Ответ: 1) 0,1587; 0,0228; 0,00135; 2) 0,3173; 0,0455; 0,0027)

 

12.10. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднюю квадратическую ошибку взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5 г.

(Ответ: )

 

12.11. Производятся два независимых измерения прибором, имеющим среднюю квадратическую ошибку 30 м и систематическую ошибку +10 м. Какова вероятность того, что обе ошибки измерений, имея разные знаки, по абсолютной величине превзойдут 10 м?

(Ответ: )

 

12.12. На плоскости проведены две параллельные прямые, расстояние между ними L. На эту же плоскость бросается круг радиуса R. Центр рассеивания расположен на расстоянии b от одной из линий во внешнюю сторону. Срединное отклонение центра круга в направлении, перпендикулярном линии, равно Е.

Определить при одном бросании:

а) вероятность накрытия кругом хотя бы одной прямой;

б) вероятность накрытия обеих прямых, если L= 10 м, R = 8 м, b= 5 м, E =10 м.

(Ответ: а) 0,5196; б) 0,1281)

 

12.13. Изделие считается высшего качества, если отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготовляются четыре изделия.

(Ответ: изделия)

 

12.14. Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случайные отклонения размера от середины поля допуска подчиняются закону нормального распределения с параметрами = 0 и = 5 мк

(Ответ: Не менее 30 мк)

 

12.15. Какое наибольшее расстояние допустимо между двумя рыболовецкими судами, идущими параллельными курсами, чтобы вероятность обнаружения косяка рыбы, находящегося посередине между ними, была не менее 0,5, если дальность обнаружения косяка для каждого из судов является независимой нормально распределенной случайной величиной с км и средним квадратическим отклонением =1,1 км?

(Ответ: ~8,6 км)

 

12.16. При большом числе измерений установлено, что 75% ошибок

а) не превосходят +1,25 мм;

б) не превосходят по абсолютной величине 1,25 мм.

Заменяя частоты появления ошибок их вероятностями, определить в обоих случаях среднее квадратическое отклонение ошибок измерения, считая их нормально распределенными с нулевым математическим ожиданием.

(Ответ: а) 1,85 мм; 2) 1,08 мм)

 

12.17. Случайное отклонение X размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Годными деталями являются те, для которых а < X < b. Деталями, подлежащими переделке, являются те, для которых Х>b.

Найти:

а) функцию распределения случайных отклонений размеров деталей, подлежащих переделке;

б) функцию распределения случайных отклонений размеров годных деталей.

(Ответ: а) ) для ; б) для )

 

12.18. Нормально распределенная случайная величина X имеет нулевое математическое ожидание. Определить среднее квадратическое отклонение , при котором вероятность была бы наибольшей ().

(Ответ: )

Литература

 

1. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей, Изд. «Наука», 1969.

2. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей, Изд. «Наука», 1969.

3. И.В. Дунин – Барковский, Н.В. Смирнов, Теория вероятностей и математическая статистика, ГТТИ, 1965.

4. И.Н. Коваленко, А.А. Филиппова, Теория вероятностей и математическая статистика, «Высшая школа», 1973.

5. Ю.В. Кожевников, Теория вероятностей и математическая статистика, Изд. «Машиностроение», 2002.

6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А Свешникова, «Наука», 1970.

7. Л.Д. Мешалкин, Сборник задач по теории вероятностей, Изд. «МГУ». М., 1963.

8. Г.В. Емильянов, В.П. Скитович, Задачи по теории вероятностей и математической статистике, Изд. «ЛГУ». Ленинград, 1967.

9. В.В. Скворцов, Теория вероятностей, Изд. «Мир». М., 1993.

10. Руководство для инженеров по решнию задач теории вероятностей. Под редакцией А.А Свешникова, «Судпромгиз». Ленинград, 1962.