Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Краткая теоретическая часть

В качестве числовых характеристик дискретных случайных величин чаще всего используются моменты этих величин.

Начальный и центральный моменты -го порядка дискретной случайной величины определяются формулами

,

где — математическое ожидание , — возможные значения случайной величины X, — соответствующие им вероятности, а — математическое ожидание X. Таким образом, начальный момент первого порядка определяется формулой

,

второй центральный момент, или дисперсия, — формулой

или формулой

.

Среднее квадратическое отклонение определяется соотношением

.

Если, вероятности различных значений случайной величины X зависят от события ,то условное математическое ожидание случайной величины X при условии осуществления есть

Если ) образуют полную группу несовместных событий, т.е. , то полное математическое ожидание X связано с условным математическим ожиданием формулой

Во всех приведенных выше формулах число слагаемых в суммах может быть бесконечным; в этом случае для существования соответствующего математического ожидания ряд должен сходиться абсолютно.

 

Тест

 

1. Выберите правильное определение начального и центрального моментов -го порядка дискретной случайной величины:

а)

,

где - математическое ожидание , - возможные значения случайной величины , - соответствующие им вероятности, - математическое ожидание

б)

,

где - математическое ожидание , - возможные значения случайной величины , - соответствующие им вероятности, - математическое ожидание

в)

,

где - математическое ожидание , - возможные значения случайной величины , - соответствующие им вероятности, - математическое ожидание

г)

,

где - математическое ожидание , - возможные значения случайной величины , - соответствующие им вероятности, - математическое ожидание

2. Укажите правильное определение математического ожидания дискретной случайной величины. Математическим ожиданием называется сумма ряда, если

а) ряд сходится

б) ряд сходится абсолютно

в) никаких дополнительных условий не должно быть

 

3. Какие из перечисленных предложений определяют числовую характеристику - математическое ожидание?

а) положение реализации случайной величины на числовой прямой

б) некоторое число, вокруг которого группируются реализации случайной величины

в) рассеянье случайной величины

4. Дисперсия – это числовая характеристика случайной величины, которая определяет:

а) положение реализации случайной величины на числовой прямой

б) некоторое число, вокруг которого группируются реализации случайной величины

в) рассеянье случайной величины

 

Решение типовых задач

Пример 9.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа дефектных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Решение.

Случайное число дефектных изделий, содержащихся в выборке, может иметь следующие значения:

Вероятности того, что X принимает данное значение , равны (см. пример 8.1)

( 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Искомое математическое ожидание

.

Так как есть коэффициент при в произведении , то есть коэффициент при в выражении

.

Следовательно,

, а

 

Пример 9.2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения 1, 2, 3, …, .Выразить математическое ожидание случайной величины через производящую функцию

.

Решение.

По определению математического ожидания случайной величины

.

С другой стороны, значение производной от производящей функции, вычисленное при , равно

.

Следовательно,

.

 

Пример 9.3. Опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью 1 — р.

Условная вероятность достижения намеченного результата после т успешных опытов Р(т) равна

.

Найти математическое ожидание числа независимых опытов, необходимых для достижения намеченного результата.

Решение.

Обозначим вероятность достижения намеченного результата при опытах. Если — вероятность иметь ровно т успешных из общего числа п опытов, то согласно формуле полной вероятности

Так как опыты независимы и вероятность успешного исхода в каждом из них равна р, то

.

Подставляя в формулу для значения и Р(т), получим

.

Для достижения намеченного результата потребуется ровно п опытов, если при п -м опыте он будет достигнут. Вероятность последнего события равна . Следовательно, математическое ожидание случайного числа опытов, необходимых для достижения намеченного результата,

Для вычисления последней суммы воспользуемся равенством

,

справедливым при . Полагая в данном случае , получим

.

Пример 9.4. Прибор имеет п предохранителей. В случае перегрузки сгорает один из предохранителей, который заменяется новым. Каково математическое ожидание числа перегрузок , после которых в приборе окажутся замененными все первоначально установленные предохранители, если выход из строя в момент перегрузки любого из п предохранителей (как незамененного, так и нового) равновероятен?

Решение.

Обозначим математическое ожидание числа перегрузок, после которых все первоначально установленные п предохранителей окажутся замененными, если остались незамененными предохранителей.

Для вычисления воспользуемся формулой полного математического ожидания. Если остались незамененными предохранителей , то для повреждения одного из них потребуется очередная перегрузка. В зависимости от результатов очередной перегрузки будут различными средние числа перегрузок, необходимых для сгорания предохранителей, оставшихся из числа первоначально установленных.

При очередной перегрузке могут произойти два события:

— сгорел один из первоначально установленных предохранителей, вероятность чего ;

— сгорел замененный предохранитель, вероятность чего .

Если при очередной перегрузке произойдет событие , то математическое ожидание числа перегрузок для замены всех предохранителей, не замененных до очередной перегрузки, будет равно . Если же при очередной перегрузке произойдет событие А₂, то это математическое ожидание будет равно . На основании формулы полного математического ожидания имеем

или, после несложных преобразований,

.

Если , т. е. остался лишь один незамененный.предохранитель, то вероятность его замены равна . Следовательно, на основании примера 9.3 будем иметь

Итак, имеем цепь равенств:

суммируя которые, получим

или

.

Пример 9.5. В результате испытаний двух приборов (А и В) установлена вероятность появления помех, оцениваемых по трехбалльной системе (табл. 6). (В случае отсутствия помех их уровень принимается равным нулю).

Таблица 6.

Уровень помех
Вероятность появления помех данного уровня	Прибор А	0,20	0,06	0,04
Прибор В	0,06	0,04	0,10

По приведенным данным выбрать лучший прибор, если лучшим является тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.

Решение.

Обозначим через X случайный уровень помех. Средний уровень помех для прибора А

балла.

Для прибора В

балла.

Итак, по среднему баллу оба прибора равноценны. В качестве дополнительного критерия сравнения используем среднее квадратическое отклонение уровня помех:

балла,

балла.

Таким образом, прибор А дает более устойчивые показания относительно средних, и, следовательно, он лучше прибора В.

 

9.4. Задачи для самостоятельной работы

9.1. Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ за время испытаний на надежность, если испытанию подвергается один прибор, а вероятность его отказа р.

(Ответ: )

 

9.2. Считая, что вес тела с одинаковой вероятностью может быть равен любому целому числу граммов от 1 до 10, определить, при какой из трех систем разновесов:

а) 1, 2, 2, 5, 10;

б) 1, 2, 3, 4, 10;

в) 1, 1, 2, 5, 10

среднее число необходимых для взвешивания гирь будет наименьшим, если при взвешивании разрешается гири ставить только на одну чашку, а подбор гирь при взвешивании осуществляется так, чтобы использовать наименьшее возможное число гирь.

(Ответ: а) ; б) ; в) )

 

9.3. Испытуемый прибор состоит из пяти элементов. Вероятность отказа для элемента с номером равна

Определить математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов, если отказы элементов независимы.

(Ответ: )

 

9.4. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятность отказа каждого прибора соответственно равна , и . Доказать, что математическое ожидание числа отказавших приборов равно .

(Указание: Для доказательства достаточно вычислить , где )

 

9.5. Определить математическое ожидание числа приборов, отказавших в работе за время испытаний, если вероятность отказа для всех приборов одна и та же и равна р, а число испытуемых приборов п.

(Указание: Составить производящую функцию )

9.6. В лотерее имеется выигрышей стоимостью — стоимостью ,..., т_п — стоимостью . Всего билетов N. Какую стоимость билета следует установить, чтобы математическое ожидание выигрыша на один билет равнялось половине его стоимости?

(Ответ: )

 

9.7. Первый игрок бросает 3, а второй 2 одинаковых монеты. Выигрывает и получает всё 5 монет тот, у которого выпадает большее число гербов. В случае ничьей игра повторяется до получения определенного результата. Каково математическое ожидание выигрыша для каждого из игроков?

(Ответ: Для первого , для второго - , то есть игра проигрышная для второго игрока)

 

9.8. Три игрока А, В, С играют на следующих условиях: в каждой партии участвуют двое; проигравший уступает место третьему; первую партию играют А с В. Вероятность выигрыша в каждой партии для каждого игрока равна . Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет подряд 2 раза. При этом он получает т рублей. Каково математическое ожидание выигрыша для каждого игрока:

а) после первой партии при условии, что А ее выиграл;

б) в начале игры?

(Ответ: а) ; б)

Указание: Ввести в рассмотрение величины - математические ожидание выигрышей игроков соответственно при условии, что игрок А выиграл у В. Для этих величин справедливы равенства , которые составляют систему уравнений для нахождения неизвестных .)

 

 

9.9. Три игрока А, В, С играют на следующих условиях: в каждой партии участвуют двое; проигравший уступает место третьему; первую партию играют А с В. Вероятность выигрыша в каждой партии для каждого игрока равна . Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет подряд 2 раза; при этом он получает сумму выигрыша, равную числу всех сыгранных партий. Каково математическое ожидание выигрыша для игроков А и С до начала игры?

(Ответ: )

 

9.10. Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью р. Переналадка линии производится после первого же бракованного изделия. Найти среднее число всех изделий, изготовленных между двумя переналадками линии.

(Ответ: )

 

9.11. Вероятность приема позывного сигнала одной радиостанции другой радиостанцией равна 0,2 при каждой посылке. Позывные подаются каждые 5 сек. до тех пор, пока не будет получен ответный сигнал, принимаемый достоверно. Общее время прохождения позывного и ответного сигналов равно 16 сек. Найти среднее число подаваемых позывных сигналов до установления двусторонней связи.

(Ответ: )

 

9.12. Найти математическое ожидание и дисперсию числа изделий, изготовляемых на поточной линии при нормальной настройке за период между двумя переналадками, если при нормальной настройке вероятность изготовления бракованного изделия равна р, а переналадка производится после изготовления k-ro бракованного изделия.

(Ответ:

Указание: Ряд суммируется с помощью формулы , где )

 

9.13. Условная вероятность отказа прибора, вычисленная в предположении о неработоспособности т элементов, имеет вид:

а) для прибора А

б) для прибора В

Найти математическое ожидание числа неработоспособных элементов, приводящих к отказам приборов А и В.

(Ответ: а) , где б)

Указание: Суммирование ряда производится по формулам )

 

9.14. Блокировочная схема, состоящая из реле А, включенного последовательно с двумя реле В и С, соединенными параллельно, должна обеспечить замыкание цепи между клеммами / и // (рис. 12). Вследствие неисправности реле А может не сработать с вероятностью 0,18, а реле В и С — с одинаковыми вероятностями, равными 0,22. Определить среднее число включений до схемы до первого отказа блокировочной схемы.

(Ответ: , где )

 

9.15. Прибор имеет элементы А, В и С, уязвимые к космическому излучению и дающие отказ при попадании в них хотя бы одной частицы. Отказ прибора наступает в случае отказа элемента А или совместного отказа элементов В и С. Определить математическое ожидание числа частиц, попадание которых в прибор приводит к его отказу, если условные вероятности попадания в элементы А, В и С частицы, уже попавшей в прибор, соответственно равны 0,1; 0,2; 0,2.

(Ответ: )

 

9.16. Прибор имеет п элементов типа А и т элементов типа В. В случае отказа элементов типа А они не заменяются, а работа прибора продолжается до тех пор, пока в схеме есть хотя бы один исправный элемент типа А. Отказы элементов типа В устраняются так, что число исправных элементов типа В в схеме остается постоянным. Отказ любого из исправных элементов прибора равновозможен. Определить среднее число отказов элементов, приводящих к полному отказу прибора, т. е. к выходу из строя всех п элементов типа А.

(Ответ: )

 

9.17. Доказать, что дисперсия числа появлений события при однократном производстве опыта не превосходит 1/4.

(Указание: исследовать на максимум дисперсию как функцию вероятности появления события)

 

9.18. Определить условия, для которых третий центральный момент биномиального распределения равен нулю.

(Ответ: обращается в 0 при )

 

9.19. Функция распределения случайной величины X задана равенством

где - наибольшее целое число, меньшее .

Доказать, что если , то .

(Указание: Рассмотреть дисперсию как функцию вероятности появления события)

 

9.20. Из урны, содержащей весьма большое число белых и черных шаров, смешанных в равной пропорции, вынимаются последовательно 10 шаров. Шары, вынутые до первого появления черного шара, возвращаются в урну; первый появившийся черный шар и все последующие перекладываются во вторую, первоначально пустую, урну. Определить математическое ожидание числа белых и черных шаров во второй урне.

Решить ту же задачу в предположении, что число X вынутых шаров является случайным и подчиняется закону Пуассона с параметром а = 10, т. е.

.

(Ответ: В обоих случаях математическое ожидание числа черных шаров во второй урне равно5, а белых – в случае (а) - , в случае (б) - )

 

9.21. Игра заключается в том, что монету бросают до появления герба. Если герб выпал при k -м бросании монеты, то игрок А получает k рублей от игрока В. Сколько рублей должен уплатить игрок А игроку В перед началом игры для того, чтобы математические ожидания проигрыша для каждого игрока равнялись нулю (чтобы игра была «безобидной»)?

(Ответ: Два рубля)

 

9.22. Автоколонна может прибыть на станцию обслуживания в любой момент времени. При организации дежурства п ремонтных рабочих способом А среднее число обслуживаемых машин равно пр. При организации дежурства способом В будет обслужено: машин, если автоколонна прибудет в первую половину суток; пр машин, если автоколонна прибудет в третью четверть суток; 0,5пр машин, если автоколонна прибудет в четвертую четверть суток.

При каких значениях р следует предпочесть организацию дежурства способом В?

(Ответ: При )

 

9.23. Рабочий обслуживает п однотипных станков, расположенных в ряд с равными промежутками а. Закончив обслуживание какого-либо станка, рабочий переходит к тому станку, который раньше других потребовал обслуживания. Предполагая, что неполадка в любом из п станков равновероятна, вычислить среднее значение длины одного перехода рабочего.

(Ответ:

Указание: При отыскании вероятностей того, что случайная длина перехода равна , воспользоваться формулой полных вероятностей, приняв в качестве гипотезы то, что рабочий в данный момент стоит у -го станка)

 

9.24. Случайная величина X может принимать целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель прогрессии q так, чтобы математическое ожидание величины X было равно 10, и вычислить при этом условии вероятность .

(Ответ: )

 

9.25. Случайная величина X может иметь любое целое положительное значение п с вероятностью, пропорциональной . Найти математическое ожидание X.

(Ответ: )

 

9.26. Случайная величина X имеет распределение

( =1, 2, …).

Найти

(Ответ: )

 

9.27. Игра состоит втом, что повторяются независимые опыты, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р. Если событие А произошло в опытах подряд, а в ()-м опыте не произошло, то первый игрок получает от второго игрока у^п рублей. Если же п=0, то первый игрок платит второму игроку 1 рубль. Требуется найти величину у при условии, что игра будет «безобидной», т. е. математическое ожидание выигрыша для обоих игроков равно 0. Рассмотреть пример .

(Ответ: руб.)

9.28. Из сосуда, содержащего, т белых и п черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Найти математическое ожидание числа вынутых черных шаров и его дисперсию, если каждый шар после извлечения возвращался.

(Ответ: )

 

9.29. Даны два ящика с белыми и черными шарами; в первом ящике при общем числе шаров N находится М белых шаров, а во втором ящике имеется белых шаров при общем числе шаров. Опыт состоит в том, что из каждого ящика вынимается один шар, который перекладывается в другой ящик, после чего шары перемешиваются. Определить математическое ожидание числа белых шаров в первом ящике по окончании указанных k опытов. Рассмотреть случай .

(Ответ:

Указание: Составить конечноразностное уравнение для математического ожидания числа белых шаров , находящихся в первой урне после k опытов: )

 

9.30. Связь с дрейфующей станцией могут поддерживать п радиостанций. Вступает в двустороннюю связь та, которая первой примет позывные дрейфующей станции, причем это событие равновероятно для всех п радиостанций (). Дрейфующая станция будет устанавливать связь т раз. Определить вероятность того, что радиостанция № 1 вступит в двустороннюю связь k раз. Найти для нее же математическое ожидание и дисперсию числа вступлений в двустороннюю связь.

(Ответ: )

 

9.31. Независимые испытания аппаратуры повторяются до тех пор, пока не произойдет отказ. Вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна р. Найти математическое ожидание и дисперсию числа безотказных испытаний.

(Ответ: , где )

 

9.32. Двое поочередно бросают монету до тех пор, пока у обоих не выпадает одинаковое число гербов. Вероятность ого, что после бросаний у обоих будет одинаковое, количество гербов, равна

.

Определить математическое ожидание числа бросаний.

(Ответ: , так как ряд расходится при )