Оптимизация по Винеру и Калману

Если структурная схема РАС не определена, то синтез следящей системы целесообразно проводить по другому принципу. Предполагаем, что в процессе работы РАС ошибка слежения не выходит за пределы линейного участка дискриминационной характеристики.

Более общей постановкой задачи синтеза оптимальных систем является постановка её с учётом достижения минимума функционала:

, (7.17)

где для сигнала управления и помехи соответственно.

Задача оптимального синтеза формулируется следующим образом: «из допустимого множества l(t) необходимо выбрать и технически реализовать такой сигнал управления, который переводит объект управления из начального состояния в конечное и минимизирует функционал (7.17)».

РАС представляется в этом случае как линейный фильтр, с выхода которого снимается сигнал y(t).

Доказано [1 – 5], что необходимым и достаточным условием оптимальности системы по критерию минимума СКО является отсутствие корреляции между мгновенной ошибкой оптимизируемой РАС и выходной величиной другой линейной системы [5]. При воздействии на систему гауссовского случайного процесса оптимальный линейный фильтр обладает наилучшими характеристиками.

Для определения импульсной характеристики оптимального фильтра потребуется решить интегральное уравнение Винера – Хопфа при заданных корреляционных функциях воздействия и возмущения.

, (7.18)

где r (t) = l(t) + x(t)/ S_д – смесь сигналов воздействия и помехи.

Если не накладывать ограничений на ИХ и функцию возмущения (при этом может получиться физически не реализуемое решение), то решение (7.18) большой сложности не представляет.

. (7.19)

Так как (7.19) соответствует интегралу свертки, удобно перейти с помощью преобразования Фурье в частотную область

. (7.20)

На основании спектральных плотностей заданных процессов определяется ЧПФ РАС как фильтра. В качестве функционала в этом случае используется следующий интеграл:

, (7.21)

где K (j ω) – характеристика эквивалентного фильтра разомкнутой системы; v – порядок астатизма.

. (7.22)

 

Пример 7.5. Определить ИХ фильтра Винера без учета физической реализуемости обобщенной РАС, если известны спектральные плотности сигналов воздействия и помехи .

. (7.23)

Следующий этап – разложение (7.23) на сумму простых дробей

, (7.24)

где , .

Взяв обратное преобразование Фурье от (7.24), получим ИХ:

. (7.25)

Очевидно, что такая ИХ не может быть физически реализована, так как ИХ существует в отрицательные моменты времени, то есть фильтр использует данные, которые реально еще не получены [18].

СКО данной РАС (при a = b = S_д = N₀ = 1) составляет 0,58 [18].

Подобное решение, тем не менее, представляет определенный интерес, так как определяет нижнюю теоретическую границу СКО, а также может быть использовано в системах с накоплением информации (данные в отрицательные, то есть в предшествующие, моменты времени могут запоминаться в устройствах памяти системы).

Чтобы полученное решение (7.18) было физически реализуемо, необходимо задать требования физической реализуемости для процессов воздействия и возмущения. При этом решение существенно усложняется.

В процедуре решения выделяют следующие этапы [1 – 5].

1. Спектральную плотность S _{l r} (w) факторизуют:

, (7.26)

то есть разлагают на комплексно-сопряженные функции Y(j w).

2. Функцию S _lr(w)/Y(– j w) разлагают на элементарные дроби, а после этого оставляют дроби только с полюсами в левой комплексной полуплоскости.

3. Записывают выражение для ЧПФ в таком виде:

, (7.27)

где в выражениях в квадратных скобках со знаком «*» оставляют дроби только с полюсами в левой комплексной полуплоскости.

Если возмущение представляет собой белый шум, то процедура вычислений существенно упрощается (W (j w) – ЧПФ разомкнутой РАС).

, . [5] (7.28)

Пример 7.6. Определить ИХ физически реализуемого фильтра Винера для обобщенной РАС для исходных данных примера 7.5 [5, 18].

, (7.29)

где – спектральная плотность помехи, приведенная ко входу дискриминатора; [5].

Выполним факторизацию (7.29):

, , . (7.30)

Приступаем ко второму этапу, находим S _lr(w)/Y(– j w)

, (7.31)

а затем разлагаем на простые дроби:

, (7.32)

где , и оставляем только первое слагаемое (у второго слагаемого правый корень).

Выполняя действия по третьему этапу в результате получаем [5]:

, (7.33)

где , ; .

Остается определить ИХ с помощью формул из прил. 1:

. (7.34)

График ИХ (7.34) представлен на рис. 7.15.

Фильтр с полученными ЧПФ и ИХ можно реализовать с помощью инерционного звена (прил. 2), например интегрирующей RC -цепи, с параметрами k_э и T_э, которые зависят от ширины спектра воздействия и уровня помехи.

СКО данной РАС [2].

При a = b = S_д = N₀ = 1 D_x = 0,73 [18].

Таким образом, дополнительное ограничение на ИХ оптимального фильтра приводит к увеличению СКО.

На рис. 7.16 показана зависимость параметров синтезированного фильтра k_э и T_э от соотношения спектральных плотностей воздействия и возмущения (r). Из рисунка видно, что при уменьшении спектральной плотности помехи оптимальный КУ k_э растет, а оптимальная постоянная времени фильтра T_э уменьшается. Это объясняется тем, что при малой интенсивности помехи основной вклад в СКО вносит составляющая, вызванная искажением процесса l(t) при прохождении его через фильтр. Для ее уменьшения необходимо расширять полосу пропускания и увеличивать КУ. Если преобладает спектральная плотность помехи, то для снижения СКО потребуются обратные действия.

Имея результат (7.33), можно определить K₂ (p) в контуре управления обобщенной РАС (рис. 3.1).

, (7.35)

где в данном примере , .

При изменении уровня помехи в данном случае достаточно будет подстраивать только k₂ для минимизации СКО.

Если входное воздействие и помеха являются нестационарными случайными процессами, то фильтр будет также нестационарным.

Кроме того, в РАС существует необходимость достигать минимум СКО не только в установившемся режиме, но и в определенный момент времени наблюдения. Поэтому решение интегрального уравнения, аналогичного (7.18), существенно усложняется, как и практическая реализация после фильтра [2, 5, 18].

В 1960 г. Р. Калман [18] предложил альтернативную формулировку задачи оптимальной фильтрации по критерию наименьших квадратов. Фильтр Калмана обеспечивает минимум СКО в произвольный момент времени и успешно работает при нестационарных входных воздействиях.

Для решения сформулированной задачи Калман использовал методы пространства состояний. Отметим характерные черты, которые отличают формулировку задачи оптимальной фильтрации по Калману.

1. В фильтрации по Винеру случайные процессы характеризуются их корреляционными функциями. По Калману случайные процессы моделируются системой дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных, которые характеризуют состояние процесса в любой момент времени. Эти переменные называются переменными состояния, а их совокупность – вектором состояния.

2. В методе Винера оптимальная оценка задающего воздействия находится как выходная величина линейного фильтра, ИХ которого удовлетворяет некоторому интегральному уравнению. В методе Калмана оптимальная оценка находится как решение дифференциального уравнения, коэффициенты которого определяются статистикой процесса [18].

Пример 7.7. Определить оптимальный физически реализуемый фильтр Калмана при исходных данных примера 7.5 [1, 2, 5].

После получения характеристики формирующего фильтра записываются матрицы пространства состояний [2]. После сложных вычислений, которые можно найти в [1, 2, 5], получается структурная схема, представленная на рис. 7.17.

Параметры элементов схемы таковы [2]:

, . (7.36)

Дисперсия ошибки определяется по следующей формуле [2]:

. (7.37)

В [2] показано, что при переходе к установившемуся режиму получаются такие же значения, что и в выше рассмотренном примере 7.6.

Кроме того, в [2] доказывается, что за счет переменных параметров фильтра в данном случае достигается выигрыш в качестве регулирования порядка 15%.

 

Если спектральные плотности процессов воздействия и возмущения известны, то можно так приближенно определить оптимальную полосу пропускания РАС (рис. 7.18) [1].

Если процессы некоррелированы, то оптимальная полоса пропускания РАС (w _опт) соответствует верхней частоте спектра сигнала воздействия (S_l)(рис. 7.18 а). Если возмущение представляет собой белый шум (S_ш), то полоса пропускания РАС также определяется полосой пропускания по воздействию (S_l) (рис. 7.18 а).

Если процессы имеют связь, то графики спектральных плотностей S _λ(ω) и S _x(ω) проникают друг в друга (рис. 7.18 б), и в этом случае оптимальное значение полосы пропускания РАС (w _опт) с минимальной СКО находится в точке пересечения графиков [1].

Если процессы воздействия и возмущения имеют закон распределения, отличный от нормального, то оптимальную систему определяют с помощью методов теории нелинейной оптимальной фильтрации [18].

Список рекомендуемой литературы: [ 1, с. 104-142, 235-238; 2, с. 157-171; 3, с. 252-273, 338-374; 4, с. 114-139, 141-162; 5, с. 177-191; 6, с. 22-25; 8; 10, т. 1, с. 237-244, 254-258, 268-274; 10, т. 2, с. 209-218; 11, с. 625-652; 13, с. 138-152, 411-422; 17, 18, с. 95-115].

Контрольные вопросы

1. В чем заключается инженерный метод синтеза РАС?

2. Опишите последовательность инженерного синтеза РАС по заданной ЛАЧХ.

3. Дайте определение желаемой и неизменяемой ЛАЧХ.

4. Опишите последовательность инженерного синтеза РАС по заданной желаемой и неизменяемой асимптотической ЛАЧХ.

5. Для чего применяются корректирующие устройства?

6. Опишите основные разновидности корректирующих устройств, их способы включения и их радиотехнические реализации.

7. Какой фильтр называют оптимальным для определенной РАС?

8. Опишите особенности фильтров Винера и Калмана.

9. Назовите условия физической реализуемости фильтров.

10. Опишите особенности фильтров Винера и Калмана.

11. Назовите основные критерии оптимизации РАС.

12. Как определяют ПФ оптимального фильтра для заданной РАС?