Анализ качества работы дискретных систем

Устойчивость дискретных следящих систем связана с расположением полюсов ее ПФ на комплексной плоскости. Как было отмечено ранее (гл. 4), непрерывная РАС будет устойчива, если полюсы ее ПФ находятся в левой комплексной полуплоскости.

Учитывая связь Z -преобразования и ЧПФ РАС, получаем, что левая комплексная полуплоскость в результате преобразуется в круг единичного радиуса на плоскости переменной z.

Отсюда следует, что дискретная система будет устойчива, если полюсы z_i её ПФ K (z) находятся внутри окружности единичного радиуса на плоскости переменной z, а значит, удовлетворяют условию: | z_i | < 1.

Полюсы ПФ z_i являются корнями характеристического уравнения , которое получается приравниванием нулю знаменателя ПФ K (z).

При переходе к псевдочастоте можно получить ПФ K (s), которая имеет то же поведение, что и K (p), что позволяет использовать любые методы анализа устойчивости, приведенные в гл. 4, относительно новой переменной s [18].

Кроме прямого вычисления корней характеристического уравнения, как и у непрерывных РАС используют алгебраические (для ПФ порядка не превышающего 5) и частотные критерии.

Например, алгебраический критерий устойчивости требует, чтобы коэффициенты характеристического уравнения устойчивой дискретной системы удовлетворяли определенной системе неравенств.

Условие устойчивости для уравнения первого порядка (n = 1):

а₁ + а₀ > 0, a₁ – a₀ > 0. (9.13)

Условие устойчивости для уравнения второго порядка (n = 2):

a₂ + a₁ + a₀ > 0, a₂ – a₁ + a₀ > 0, a₂ – a₀ > 0. (9.14)

Для характеристических уравнений более высоких порядков формулы алгебраического критерия устойчивости можно найти в [2, 18].

Критерий устойчивости Найквиста требует, чтобы годограф комплексной ЧПФ разомкнутой дискретной РАС (W (z) = W (p) при подстановке z = exp(i w T)) не охватывал критическую точку (–1, i 0) на плоскости комплексной переменной ω, при этом достаточно изменять ω в пределах от 0 до [2].

Пример 9.3. Проанализируем устойчивость дискретной РАС из примера 9.2 (рис. 9.2) с приведенной ПФ .

Из (9.12) следует, что .

При линеаризованном дискриминаторе с крутизной характеристики S_д получаем такую ПФ по ошибке:

. (9.15)

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид (n = 1):

.

Из (9.11) следует, что a₁ = 1; a₀ = и условия устойчивости будут иметь вид:

; . (9.16)

Первое условие всегда выполняется при нахождении величины рассогласования на линейном (рабочем) участке характеристики (S_д > 0).

Выполнение второго условия накладывает ограничения на допустимую величину периода дискретизации Т_д и коэффициента передачи по контуру регулирования S_дk_и . В то же время непрерывная РАС с одним интегратором устойчива при любой глубине обратной связи.

Причина неустойчивости РАС при невыполнении второго условия заключается в прерывистом характере регулирования, при котором напряжения на выходе интегратора определяется не текущим значением ошибки, а ее значением в дискретные моменты времени t = nТ_д [2].

Аналогичные выводы получаются и по другим критериям.

Например, в этом случае после получения формулы (9.15) проще всего было проанализировать полюсы (нули знаменателя) (9.15) на выполнение условия | z_i | < 1. В данном случае получаем: , что после снятия знака модуля приводит к полученным ранее условиям (9.16).

 

Анализ детерминированных процессов в дискретных РАС c помощью Z -преобразования проводится аналогично применению операторного метода при анализе непрерывных РАС.

Сначала необходимо получить Z -преобразования ПФ K (z) и входного процесса Λ(z). Тогда анализируемый выходной процесс определяется перемножением их Z -преобразований:

Y (z) = K _{λ y} (z)Λ(z) или X (z) = K _{λ x} (z)Λ(z). (9.17)

По полученному Z -преобразования выходного процесса (Y (z) или X (z)) отыскиваются значения отчетов (дискретов) во временной области (y (nТ_д) или x (nТ_д)).

Существует несколько способов обращения Z -преобразования.

Напрямую интеграл обращения вычисляется с использованием теорема о вычетах:

, (9.18)

где z_i – полюсы подынтегральной функции f (z)= Y (z) z ^{n –1} [2, 18].

В общем случае вычет в полюсе m -го порядка определяется так:

, (9.19)

а в случае простого полюса:

. (9.20)

Однако на практике обычно предпочитают пользоваться таблицами Z -преобразования [2, 5, 18]. Для этого необходимо представить Y (z) или X (z) в виде составляющих, имеющих известное (табличное – см. прил. 1) Z -преобразование.

 

Пример 9.4. Определим ошибку слежения x (t) в дискретной РАС из примера 9.2 при воздействии λ(t) = A 1(t) и возмущении ξ(t) = 0.

По таблице из прил. 1 определяем .

Подставляя результаты примера 9.3, получаем

.

Установившееся значение ошибки определяем по теореме о конечном значении оригинала (9.8):

.

Для определения ошибки в переходном режиме используем теорему о вычетах (9.20). Так как ПФ имеет один простой полюс (), то

. (9.21)

В данном примере прямое вычисление по теореме вычетов оказывается проще, чем использование таблицы из прил. 1.

Условие устойчивости (9.16), полученное ранее, в (9.21) проявится в том, что в скобках при выполнении неравенств (9.16) получается число, которое по модулю меньше единицы, а значит с ростом показателя степени выходной процесс будет убывать.

На рис. 9.3 приведены графики x (t) при различных значениях S_дk_иТ_д.