Статические и динамические характеристики РАС

Статическая характеристика отражает функциональную зависимость выходной величины от входного воздействия в установившемся режиме. Большинство реальных звеньев и узлов РАС имеют нелинейные статические характеристики, то есть отношение выходной величины к входной в стационарном режиме зависит от уровня входного воздействия.

Статическая характеристика звена может деформироваться при действии на него возмущений, тогда говорят о семействе статических характеристик (см. рис. 1.3).

Многие звенья в определенном интервале входных воздействий можно приближенно считать линейными, поэтому при их экспериментальном исследовании на первый план выдвигается задача отыскания границ этого интервала. Так, например, статическая характеристика двухстороннего ограничителя будет линейна в диапазоне входных напряжений U_вх ≤ U_пор (рис. 2.1). Такую статическую характеристику можно аппроксимировать выражением

U_вых = kU_вх при U_вх ≤ U_пор ,

 

 

U_вых = U_max при U_вх ≥ U_пор.

Uвых

На линейном участке характеристики U_вых и U_вх связаны через коэффициент передачи k, называемый коэффициентом передачи по постоянному напряжению (в установившемся режиме). Коэффициент k может быть как безразмерной величиной, так и иметь размерность (А/кГц; В/^°С; кГ/м и т. д.).

Величину k можно определить и по динамическим характеристикам.

К динамическим относят частотные и временные характеристики.

Частотные характеристики показывают изменения модуля и (или) аргумента комплексного коэффициента передачи в функции от частоты гармонического входного воздействия.

Аргумент временных характеристик – время.

Свойства линейного динамического звена (как и всей системы) могут быть количественно и качественно описаны через его ПФ.

Передаточная функция (ПФ). Различают ПФ в операторной форме, в форме изображений Лапласа и частотные ПФ.

Из-за наличия инерционных элементов и преобразований энергии процессы в РАС (рис. 2.2) обычно описываются дифференциальными уравнениями:

. (2.1)

Используя оператор дифференцирования p = d/dt, удобно записать уравнение (2.1) в операторной форме (y ^{( n )} → pⁿ):

. (2.2)

Взяв отношение , получим ПФ K_yx(p) в операторной форме, отражающую способность звена преобразовывать входное воздействие.

. (2.3)

ПФ в форме изображений Лапласа K_yx (p) называют отношение изображения Лапласа выходного процесса Y (p) к изображению Лапласа входного воздействия X (p) при нулевых начальных условиях

, (2.4)

где L – оператор прямого преобразования Лапласа:

. (2.5)

Нулевые начальные условия означают, что на момент включения запасы энергии в системе (например, заряды конденсаторов) отсутствуют.

У минимально фазовых цепей все коэффициенты полиномов положительные, у неминимально фазовых цепей могут быть отрицательные коэффициенты. У физически реализуемой РАС порядок полиномов в знаменателе должен быть больше порядка полиномов в числителе (n < m).

От ПФ в операторной форме можно перейти к частотной ПФ (ЧПФ), заменив оператор p на переменную i w, где – мнимая единица.

. (2.6)

Y (i w) – спектральная характеристика выходного процесса, полученная как прямое преобразование Фурье F [ y (t)] от временной функции y (t)

. (2.7)

Замена K_yx (p) на K_yx (i w) правомерна только для стационарных режимов. ЧПФ – комплексный коэффициент передачи системы по частоте w.

Частотные свойства ЧПФ отображают также в виде графика – годографа.

Годограф ЧПФ строят либо в полярной, либо в декартовой системе координат. При этом соответственно пользуются экспоненциальной или алгебраической формами записи комплексного числа

. (2.8)

Соответствующий график содержит информацию о модуле – K_yx (ω), фазе – φ _yx (ω) и циклической частоте ω, так как каждая его точка соответствует определенной фиксированной частоте, поэтому его называют амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ).

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) строится по формуле

, (2.9)

где Y (ω) и X (ω) – комплексные амплитуды процессов на частоте ω.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) представляется в виде

. (2.10)

Графики АЧХ и ФЧХ имеют линейный масштаб по оси абсцисс.

Временные характеристики. T – постоянная времени цепи, которая характеризует инерционность (быстродействие) звена, ее можно определить и графически, если провести касательную к кривой h (t) (ПХ) в точке h (0) (см. рис. 2.3).

Для звеньев первого порядка время регулирования может быть определено как T_pег= (4...5) T [17].

При исследовании ПХ динамических звеньев в виде электрических цепей создать единичное ступенчатое воздействие (скачок) напряжения (тока) несложно. Для этого, в частности, можно использовать периодическую последовательность прямоугольных импульсов со скважностью равной 2 (меандр).

Однако искажений ПХ не будет лишь в том случае, когда длительность импульса Т_и будет больше T_pег звена.

Амплитуда импульсов должна быть выбрана с таким расчетом, чтобы не нарушились условия линейности звена.

Импульсная характеристика (ИХ) – g (t) определяет поведение процесса на выходе системы при воздействии на ее входе дельта-импульса (d(t) – функции Дирака) при нулевых начальных условиях.

– (2.11)

обратное преобразование Лапласа ПФ K (p); а

– (2.12)

обратное преобразование Фурье ЧПФ K (i w).

ИХ, как и ПХ h (t), АФЧХ, совокупность ЛАЧХ и ЛФЧХ, также позволяет определить все параметры линейного звена, составить его ПФ и дифференциальное уравнение. Однако при экспериментальном исследовании g (t)возникает сложность в моделировании дельта-импульса, так как по определению он должен иметь бесконечно большую амплитуду при бесконечно малой длительности. В условиях эксперимента можно сформировать воздействие d(t) лишь приближенно, например, смоделировать d(t) коротким импульсом, длительность которого должна быть много меньше постоянной времени звена, определяющего его быстродействие (Т_и << Т). Рекомендуется выбирать Т_и из отношения

Т_и < Т /(20…50). (2.13)

Амплитуда импульса должна соответствовать предельным возможностям звена по линейности статической характеристики.