Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Логарифмические частотные характеристикиСодержание книги Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Частотные характеристики достаточно сложно строить вручную. В 60-е годы, когда раз-вивалась классическая теория управления, не было мощных компьютеров, поэтому наиболь-шую популярность приобрели приближенные методы, с помощью которых можно было проек-тировать регуляторы с помощью ручных вычислений и построений. Один из таких подходов основа на использовании логарифмических частотных характеристик.
Вместо A (ω) было предложено использовать логарифмическую амплитудную частотных характеристику (ЛАЧХ):график,на котором по оси абсцисс откладывается десятичный лога-рифм частоты (lg ω), а по оси ординат – величина Lm (ω) = 20 lg A (ω), измеряемая в децибелах
(дБ). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) по оси абсцисс также откладывается логарифм частоты lg ω.
Единицей отсчета на логарифмической оси частот является декада – диапазон, на котором частота увеличивается в 10 раз (а значение ее логарифма увеличивается на единицу). Вместе ЛАЧХ и ЛФЧХ называются логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой (ЛАФЧХ) или диаграммой Боде.
Логарифмические характеристики обладают двумя ценными свойствами:
© К.Ю. Поляков, 2008 1) ЛАЧХ и ЛФЧХ для произведения W 1 (s) W 2 (s) вычисляются как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев:
2) в области высоких и низких частот ЛАЧХ асимптотически приближаются к прямым, наклон которых составляет ± 20 дБ/дек (децибел на декаду), ± 40 дБ/дек и т.д.
В классической теории управления хорошо разработаны методы анализа и синтеза систем на основе асимптотических ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и легко стро-ятся вручную. C появлением компьютерных средств расчета практическая ценность ЛАФЧХ несколько снизилась, однако они по сей день остаются простейшим инструментом прикидоч-ных расчетов для инженера.
На рисунке показаны точная (сплошная синяя линия) и асимптотическая (штриховая красная линия) ЛАФЧХ для звена первого порядка с передаточной функцией
W (s)= Ts 1+1при T =1с. Первая асимптота, определяющая поведение ЛАЧХ на низких частотах, имеет нулевой на-клон, потому что звено относится к классу позиционных звеньев, имеющих постоянный ненуле-вой статический коэффициент усиления, то есть
W (0)=1≠0.
Если W (0) = 0, передаточная функция содержит множитель sk (k > 0), который соответ-
ствует производной порядка k. В этом случае наклон ЛАЧХ на низких частотах равен k ⋅20дБ/дек.
Если W (0) = ∞, звено содержит один или несколько интеграторов, то есть в знаменателе
есть сомножитель sk. Тогда наклон ЛАЧХ на низких частотах равен − k ⋅20 дБ/дек. Наклон ЛАЧХ на высоких частотах определяется разностью степеней числителя и зна-менателя передаточной функции. Если числитель имеет степень m, а знаменатель – степень n, то наклон последней асимптоты равен 20 ⋅(m − n) дБ/дек. В нашем примере m − n = 0 −1 = −1.
Поэтому вторая асимптота, определяющая свойства звена на высоких частотах, имеет наклон − 20 дБ/дек, то есть, за одну декаду значение уменьшается на 20 дБ (проверьте по графику!).
© К.Ю. Поляков, 2008
Типовые динамические звенья
Обычно система управления состоит из отдельных блоков, каждый из которых описыва-ется уравнениями низкого порядка (чаще всего – первого или второго). Для понимания работы системы в целом желательно хорошо представлять, как ведут себя ее отдельные элементы. Кроме того, при построении ЛАФЧХ сложной системы передаточную функцию разбивают на простейшие сомножители
W (s) = W 1 (s) ⋅ W 2 (s)...⋅ WN (s) и далее, воспользовавшись свойствами ЛАФЧХ, строят характеристики для всей системы как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев.
Усилитель
Звенья, имеющие конечный ненулевой коэффициент усиления постоянного сигнала, то есть W (0) = k ≠ 0, называются позиционными. Это значит, что числитель и знаменатель переда-
точной функции имеют ненулевые свободные члены (постоянные слагаемые).
Простейшее позиционное звено – идеальный (безынерционный) усилитель. Его переда-точная функция W (s) = k. Строго говоря, он не является динамическим звеном, поскольку из-
менение выхода происходит мгновенно, сразу вслед за изменением входа. При действии на вход единичного ступенчатого сигнала 1 (t) (или дельта-функции δ (t)) на выходе будет такой же сигнал, усиленный в k раз, поэтому переходная и импульсная характеристики звена равны h (t)= k (t >0)и w (t)= k ⋅ δ (t).
Если на вход усилителя действует синусоидальный сигнал, на выходе он усиливается в k раз без изменения фазы, поэтому амплитудная и фазовая частотная характеристики не зависят от частоты входного сигнала:
A (ω)= k, φ (ω)=0.
Апериодическое звено
Одно из самых часто встречающихся звеньев – апериодическое, которое описывается дифференциальным уравнением
и имеет передаточную функцию W (s) = Tsk +1. Здесь k – безразмерный коэффициент, а T > 0 – постоянная, которая называется постоянной времени звена. Постоянная времени – размерная величина, она измеряется в секундах и характеризует инерционность объекта, то есть скорость его реакции на изменение входного сигнала.
В разд. 3.3 и 3.4 мы уже нашли переходную и весовую функции апериодического звена
Они показаны на рисунке:
Интересно сравнить частотные характеристики устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев с теми же коэффициентами усиления и постоянными времени.
Колебательное звено
Колебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией вида
знаменатель которой имеет комплексно-сопряженные корни (то есть, b 12 − 4 b 2 < 0). Как извест-
но из теории дифференциальных уравнений, свободное движение такой системы содержит гар-монические составляющие (синус, косинус), что дает колебания выхода при изменении входно-го сигнала. Несложно представить передаточную функцию колебательного звена в форме
В предельном случае при ξ = 0 (консервативное звено) ЛАЧХ терпит разрыв (обращается
в бесконечность) на частоте ωc, при таком входе амплитуда колебаний неограниченно растет и на практике объект разрушается.
© К.Ю. Поляков, 2008 Интегрирующее звено
Простейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входной сигнал – это поток воды через кран, выход системы – уровень воды в ванне. При поступлении воды уровень растет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.
Интегрирующее звено описывается уравнением
ловиях (y (0) = 0), получаем линейно возрастающую переходную характеристику: h (t)= k ⋅ t.
Для того, чтобы найти импульсную характеристику, вспомним, что интеграл от дельта-функции на любом интервале, включающем t = 0, равен 1. Поэтому w (t) = k (при t ≥ 0).
W (jω)= jkω = − j ωk. Можно показать,что его логарифмическая амплитудная частотная харак-
теристика – это прямая с наклоном − 20 дБ/дек. На низких частотах усиление максимально, теоретически на частоте ω = 0 оно равно бесконечности. Высокие частоты, наоборот, подавля-ются интегратором.
-90
-180
На частоте ω =1 значение ЛАЧХ равно 20 lg k, а при ω = k ЛАЧХ обращается в нуль, посколь-ку W (jω) =1. Фазовая характеристика φ (ω) = −90° – говорит о постоянном сдвиге фазы на всех частотах.
© К.Ю. Поляков, 2008 Дифференцирующие звенья
Дифференцирующее звено дает на выходе производную входного сигнала. Уравнение идеального дифференцирующего звена y (t) = k dxdt (t), его операторная запись y (t) = k ⋅ p x (t), а передаточная функция W (s) = k ⋅ s.
Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала 1 (t) в точке t = 0 – это дельта-функция δ (t). Поэтому переходная и весовая функции дифференцирующего звена
h (t)= kδ (t), w (t)= k dδ (t). dt Это физически нереализуемые функции, так как дельта-функцию и ее производную, имеющие бесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве. Поэтому идеальное диф-ференцирующее относится к физически нереализуемым звеньям.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена – прямая с наклоном 20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс Lm (ω) = 0 на частоте ω = 1 k. При ω =1ЛАЧХ равна Lm |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 804; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.226.187.194 (0.012 с.) |