Модели в пространстве состояний 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Модели в пространстве состояний



 

Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к неко-торому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандар-том» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка,

которая называется нормальной формой Коши.

 

Рассмотрим снова модель электродвигателя, считая, что M H (t) = 0 (нагрузки нет). Вспом-нив, что ω (t) = θ &(t), можно записать (12) в виде системы

θ &(t)= ω (t)

 

ω &(t)= − kJ 1 kR 2ω (t)+ Jk 1 Ru (t)

Эта система дифференциальных уравнений первого порядка быть записана в матричной форме:

θ &(t)               θ (t)              
      k k     +   k   u (t)    
ω & (t) =       ω (t)       (13)  
       
            J R       J R      
                                   

Значения θ (t) и ω (t) определяют состояние двигателя в момент времени t. Это значит, что зная их значения в некоторый момент времени t 0 и входной сигнал u (t) при всех tt 0

 

можно рассчитать поведение объекта для любого последующего момента. При этом предыду-щие значения θ (t), ω (t) и u (t) (при t < t 0) не играют никакой роли. Поэтому θ (t) и ω (t) назы-

ваются переменными состояния, а вектор θ (t)вектором состояния.

 

ω (t)

 

В теории управления принято обозначать вектор состояния через x (t), вход объекта (сиг-нал управления) – через u (t). Тогда модель (13) может быть записана в виде


 

где x (t)

 

стояния


 

                    &         (14)  
                    x (t)= Ax (t)+ Bu (t)  
θ (t)                              
, A =   k k     и B =   k   . Модель (14) связывает вход u (t) и вектор со-  
= ω (t) 0            
                         
        J R         J R        

x (t),поэтому она называется моделью вход-состояние.


 


© К.Ю. Поляков, 2008

Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравне-ние выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y (t):

x &(t)= Ax (t)+ Bu (t)

(15)

 

y (t)= Cx (t)+ Du (t)

 

Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока – это угол поворота вала:

y (t)= θ (t)=[1 0]⋅ θ (t)=[1 0]⋅ x (t),

ω (t)

 

так что C = [1 0] и D = 0. Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C = [0 1].

 

С помощью модели (15), изменяя матрицы C и D, можно принять за выход любую ли-нейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход – это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.

 

Поскольку момент инерции J, сопротивление якоря R и коэффициенты k 1 и k 2 не зави-

 

сят от времени, матрицы A, B, C и D в модели (15) – постоянные. Такие объекты называются стационарными,в отличие от нестационарных объектов,параметры которых изменяются вовремени.

 

Запись моделей в единой форме (15) позволяет отвлечься от смысла переменных состоя-ния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разрабо-таны и реализованы в современных компьютерных программах.

Покажем, как уравнения вида (15) могут быть решены и чем удобна именно такая форма записи. Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x (0) при

t =0.Вспомним,что знание x (0)и входа u (t)при всех t >0дает возможность однозначно оп-

 

ределить дальнейшее поведение этого объекта.

 

Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения век-тора состояния x (t) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆ t, где ∆ t – ма-

 

лый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния при t = ∆ t приближенно определяется формулой

 

x (∆ t)≈ x (0)+ x &(0)⋅∆ t = x (0)+[ Ax (0)+ Bu (0)]⋅∆ t,

 

то есть, его можно легко вычислить. Зная x (∆ t) и сигнал управления u (∆ t), находим выход

 

системы в тот же момент

 

y (∆ t)≈ Cx (∆ t)+ Du (∆ t).

 

Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаем x (2⋅∆ t)≈ x (∆ t)+ x &(∆ t)⋅∆ t = x (∆ t)+[ Ax (∆ t)+ Bu (∆ t)]⋅∆ t,

 

y (2⋅∆ t)≈ Cx (2⋅∆ t)+ Du (2⋅∆ t).

 

Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0. Конечно, точ-ность будет тем выше, чем меньше ∆ t, однако объем вычислений при этом также увеличится. Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйле-ра. Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A, B, C и D,его(как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решения любых уравнений вида (15).

 

Переходная функция

 

Один из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0. Формально этот сигнал определяется так:

 

0, t < 0 1 (t)=

1, t 0


 


© К.Ю. Поляков, 2008

Реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h (t):

1(t)     h (t)    
      1(t)   h (t)    
    U    
             
            t  
    t    
   

При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, то есть, имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая.

 

Если начальные условия ненулевые, то для построения сигнала выхода при любом входе нужно использовать дифференциальные уравнения объекта или модель в пространстве состоя-ний. Это значит, что переходная характеристика дает меньше информации, чем исходные урав-нения.

 

Пусть модель объекта задана дифференциальным уравнением первого порядка:

 

T dy (t) + y (t) = kx (t), (16)  
dt  
       

где k – безразмерный коэффициент, а T – некоторая постоянная, которая имеет размерность времени (измеряется в секундах). Найдем переходную характеристику этого звена. Решая урав-нение (16) при x (t) =1 (t > 0), получаем

 

y (t)= k + C 1     t  
⋅exp   ,  
   
      T  

где постоянная C 1 должна определяться из начальных условий. Поскольку нас интересует пе-

реходная характеристика, начальные условия считаем нулевыми, то есть y (0)=0,что дает  
C 1= − k и поэтому            
      t    
h (t)= y (t)= k 1 − exp   . (17)  
   
      T    
На рисунке показаны переходные характеристики (17) при различных значениях параметра T,  
который называется постоянной времени звена:            

 

y

T =0,5 c

k

 

T =1 c

 

 

              t

 

Видно, что при увеличении T выход y медленнее достигает установившегося значения, равно-

 

го k, то есть постоянная времени характеризует инерционность звена (16). Чем больше посто-янная времени, чем медленнее реагирует объект на управление и тем больше усилий нужно для того, чтобы перевести его в новое состояние.

 

Заметим, что ступенчатый сигнал легко получить на практике, поэтому переходную ха-рактеристику можно снять экспериментально.


 


© К.Ю. Поляков, 2008



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 392; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 100.26.176.111 (0.038 с.)