![]()
Заглавная страница
Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь ![]() КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Модели в пространстве состояний
Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к неко-торому стандартному виду , для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандар-том» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется нормальной формой Коши.
Рассмотрим снова модель электродвигателя, считая, что M H (t) = 0 (нагрузки нет). Вспом-нив, что ω(t) =θ&(t) , можно записать (12) в виде системы θ&(t)= ω(t)
ω&(t)= − kJ1kR2⋅ω(t)+ Jk1R ⋅u(t)
Эта система дифференциальных уравнений первого порядка быть записана в матричной форме:
Значения θ(t) и ω(t) определяют состояние двигателя в момент времени t . Это значит, что зная их значения в некоторый момент времени t0 и входной сигнал u(t) при всех t ≥ t0
можно рассчитать поведение объекта для любого последующего момента. При этом предыду-щие значения θ(t) , ω(t) и u(t) (при t < t0 ) не играют никакой роли. Поэтому θ(t) и ω(t) назы- ваются переменными состояния, а вектор θ(t) – вектором состояния.
ω(t)
В теории управления принято обозначать вектор состояния через x(t) , вход объекта (сиг-нал управления) – через u(t) . Тогда модель (13) может быть записана в виде
где x(t)
стояния
x(t) ,поэтому она называется моделью вход-состояние.
© К.Ю. Поляков, 2008 Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравне-ние выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y(t) : x&(t)= A ⋅ x(t)+ B ⋅u(t) (15)
y(t)= C ⋅ x(t)+ D ⋅u(t)
Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока – это угол поворота вала: y(t)= θ(t)=[1 0]⋅ θ(t)=[1 0]⋅ x(t) , ω(t)
так что C = [1 0] и D = 0 . Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C = [0 1].
С помощью модели (15), изменяя матрицы C и D , можно принять за выход любую ли-нейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход – это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.
Поскольку момент инерции J , сопротивление якоря R и коэффициенты k1 и k2 не зави-
сят от времени, матрицы A , B , C и D в модели (15) – постоянные. Такие объекты называются стационарными,в отличие от нестационарных объектов,параметры которых изменяются вовремени.
Запись моделей в единой форме (15) позволяет отвлечься от смысла переменных состоя-ния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разрабо-таны и реализованы в современных компьютерных программах. Покажем, как уравнения вида (15) могут быть решены и чем удобна именно такая форма записи. Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x(0) при t =0.Вспомним,что знание x(0)и входа u(t)при всех t >0дает возможность однозначно оп-
ределить дальнейшее поведение этого объекта.
Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения век-тора состояния x(t) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆t , где ∆t – ма-
лый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния при t = ∆t приближенно определяется формулой
x(∆t)≈ x(0)+ x&(0)⋅∆t = x(0)+[A⋅ x(0)+ B ⋅u(0)]⋅∆t ,
то есть, его можно легко вычислить. Зная x(∆t) и сигнал управления u(∆t) , находим выход
системы в тот же момент
y(∆t)≈ C ⋅ x(∆t)+ D ⋅u(∆t) .
Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаем x(2⋅∆t)≈ x(∆t)+ x&(∆t)⋅∆t = x(∆t)+[A⋅ x(∆t)+ B ⋅u(∆t)]⋅∆t ,
y(2⋅∆t)≈ C ⋅x(2⋅∆t)+ D ⋅u(2⋅∆t).
Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0 . Конечно, точ-ность будет тем выше, чем меньше ∆t , однако объем вычислений при этом также увеличится. Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйле-ра.Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A , B , C и D ,его(как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решения любых уравнений вида (15).
Переходная функция
Один из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0 . Формально этот сигнал определяется так:
0, t < 0 1(t)=≥ 1, t 0
© К.Ю. Поляков, 2008 Реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h(t):
При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, то есть, имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая.
Если начальные условия ненулевые, то для построения сигнала выхода при любом входе нужно использовать дифференциальные уравнения объекта или модель в пространстве состоя-ний. Это значит, что переходная характеристика дает меньше информации, чем исходные урав-нения.
Пусть модель объекта задана дифференциальным уравнением первого порядка:
где k – безразмерный коэффициент, а T – некоторая постоянная, которая имеет размерность времени (измеряется в секундах). Найдем переходную характеристику этого звена. Решая урав-нение (16) при x(t) =1 ( t > 0 ), получаем
где постоянная C1 должна определяться из начальных условий. Поскольку нас интересует пе-
y
k
T =1 c
Видно, что при увеличении T выход y медленнее достигает установившегося значения, равно-
го k , то есть постоянная времени характеризует инерционность звена (16). Чем больше посто-янная времени, чем медленнее реагирует объект на управление и тем больше усилий нужно для того, чтобы перевести его в новое состояние.
Заметим , что ступенчатый сигнал легко получить на практике, поэтому переходную ха-рактеристику можно снять экспериментально.
© К.Ю. Поляков, 2008 Поможем в ✍️ написании учебной работы
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 304; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.225.221.151 (0.035 с.) |