Передаточная функция и пространство состояний

 

Используя преобразование Лапласа, можно построить передаточную функцию для модели объекта в пространстве состояний

x &(t)= A ⋅ x (t)+ B ⋅ u (t) y (t)= C ⋅ x (t)+ D ⋅ u (t)

 

Напомним, что здесь u (t), y (t) и x (t) обозначают соответственно вход, выход и вектор состоя-

 

ния объекта. Преобразуя левые и правые части каждого уравнения по Лапласу (переходя к изо-бражениям сигналов по Лапласу при нулевых начальных условиях), получаем

s ⋅ X (s)= A ⋅ X (s)+ B ⋅ U (s)

(32)

Y (s)= C ⋅ X (s)+ D ⋅ U (s)

 

В первом уравнении перенесем все члены, зависящие от X (s), в левую часть:

 

(s ⋅ I − A) ⋅ X (s) = B ⋅ U (s),

 

где I обозначает единичную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все ос-тальные элементы – нули. Умножая обе части последнего равенства на (s ⋅ I − A)⁻¹, получим выражение для X (s):

 

X (s)=(s ⋅ I − A)⁻¹⋅ B ⋅ U (s)

 

которое при подстановке во второе уравнение в (32) дает

Y (s)= C ⋅(s ⋅ I − A)⁻¹⋅ B ⋅ U (s)+ D ⋅ U (s)=[ C ⋅(s ⋅ I − A)⁻¹⋅ B + D ]⋅ U (s).

 

Чтобы определить передаточную функцию, найдем отношение изображений выхода и входа:

 

W (s)=		Y (s)	= C ⋅(s ⋅ I − A)^−^1 ⋅ B + D.	(33)
U (s)

Обратный переход, от передаточной функции к модели в пространстве состояний, более сложен и неоднозначен. Дело в том, что каждой передаточной функции соответствует бесчис-ленное множество моделей в пространстве состояний. Одну из них можно найти следующим образом. Для передаточной функции

W (s)= d +		a	s 2	+ a s + a		,
s ^3	+ b s ^2 + b s + b

где d, a_i (i = 0,1,2) и b_i (i = 0,1,2) – постоянные коэффициенты, модель в пространстве состояний задается матрицами

 

© К.Ю. Поляков, 2008

A =

,

B =0,

C =[ a

a

a

], D = d.

(34)

− b 1

^− ^b 0

^− ^b 2

^1

При увеличении порядка передаточной функции (степени ее знаменателя), эти матрицы расши-ряются. В нижней строке матрицы A записываются коэффициенты знаменателя с обратным знаком, над главной диагональю – единицы, а остальные элементы – нули. В матрице B только самый последний элемент – единица, а остальные – нули. Наконец, матрица С строится из ко-эффициентов числителя передаточной функции.

 

Отметим, что модель, заданную неправильной передаточной функцией (у которой степень числителя больше степени знаменателя) нельзя представить в пространстве состояний.

 

Рассмотрим простой объект, модель которого задана в пространстве состояний матрицами

−0,5

C =[1

0,25],

D =0.

A =

,

B =

,

^4

^0

Используя формулу (33), получаем

^−^1 1

s

−0,5

s +1

W (s)= C (sI − A) B + D =[1

0,25]

−

=

.

s

+3 s

+ 2

0 s 4

^0

Теперь выполним обратный переход. По формулам (34) сразу находим матрицы

~

~

~

= [1 1]

~

A =

, B

^=

, C

, D = 0.

− 2

−3

^1

Заметим, что эти матрицы отличаются от исходных, однако если найти передаточную функцию по формулам (33), мы получим тот же самый результат. Это говорит о том, что одной и той же передаточной функции могут соответствовать разные модели в пространстве состояний. Если известна одна такая модель с матрицами A, B, C и D, то все остальные модели могут быть полу-

чены по формулам			~		~				~
~	−1	,	= PB,	= CP	−1	,
A = PAP		B	C		D = D,

где P – некоторая обратимая матрица (ее определитель должен быть ненулевым). При таком преобразовании передаточная функция не меняется (проверьте это!). Фактически мы переходим

к другому вектору состояния x '(t),	который связан с исходным зависимостью x '(t) = P ⋅ x (t).
Легко	проверить, что в данном	случае нужное	преобразование выполняет	матрица
	0.25
P =	^.
^1
Внимательно посмотрев на функцию W (s), можно заметить, что ее числитель и знамена-
тель имеют одинаковый множитель s +1, который можно сократить. Таким образом,
		W (s)=		.
		s +2
Для этой передаточной функции модель в пространстве состояний выглядит так:
	A =−2, B =1,	C =1,	D =0.	(35)

 

Вместо исходной модели второго порядка (два уравнения, две переменные состояния) мы по-лучили модель первого порядка. Что же произошло? Оказалось, что при нулевых начальных ус-ловиях состояние объекта определяется одной переменной,а зависимость между входом и вы-ходом системы – одним уравнением первого порядка. Поэтому произошло сокращение числи-теля и знаменателя передаточной функции.

 

Если нас интересуют только связь входа и выхода (а не внутренние сигналы в объекте) и начальные условия нулевые, можно использовать модель первого порядка. Однако при ненуле-вых начальных условиях нужно использовать исходную модель в пространстве состояний, по-тому что передаточная функция дает неполную информацию. Это особенно важно при анализе устойчивости системы (см. разд. 6.4).

 

© К.Ю. Поляков, 2008

Частотные характеристики

 

Еще один популярный эталонный сигнал – гармонический (синус, косинус), например:

 

x (t)=sin ωt,

(36)

где ω – угловая частота (в радианах в секунду). Можно показать, что при таком входе на выхо-

де линейной системы в установившемся режиме (при больших t) будет синус той же частоты^6,
но с другой амплитудой A и сдвигом фазы φ:	x
		y (t)= A (ω)⋅sin(ωt + φ (ω)).
Для каждой частоты входного сигнала будет своя ампли-
туда и свой сдвиг фазы. Чтобы определить по графику
фазовый сдвиг	φ,нужно найти расстояние∆ t по оси
времени между		соответствующими точками синусоид		t
(например, точками пересечения с осью t или вершина-
ми). Если ∆ t умножить на частоту ω,	получаем сдвиг	y	φ
фазы φ (в радианах).			∆ t = ω
На рисунке показан случай φ > 0	(опережение по	A
фазе), когда выход сдвинут «влево» по оси времени от-
носительно входа, то есть, «идет раньше» входного.
Зная передаточную функцию системы W (s), можно		t
вычислить амплитуду и сдвиг фазы по формулам
A (ω)=		W (jω)		, φ (ω) = arg W (jω) = arctg ^Im W^( ^j^ω ^).
					Re W (jω)

Запись W (jω) означает, что в передаточную функцию W (s) подставляется чисто мнимое число s = jω,где j = −1. Для каждой частоты ω значение W (jω) = P + jQ – это некоторое ком-

плексное число, имеющее амплитуду W (jω) = P ² + Q ² и фазу arg W (jω) = arctg ^Q _P.

Функция W (jω) называется частотной характеристикой звена, поскольку она характе-ризует выход системы при гармонических сигналах разной частоты. Зависимости P (ω) и Q (ω)

 

(вещественная и мнимая части W (jω)) – это вещественная и мнимая частотные характери-

 

стики.

 

Функции A (ω) и φ (ω) (они для каждой частоты принимают вещественные значения) на-

 

зываются соответственно амплитудной и фазовой частотными характеристиками (АЧХ и ФЧХ). Амплитудная частотная характеристика – это коэффициент усиления гармонического сигнала. Если на какой-то частоте ω значение A (ω) >1, входной сигнал усиливается, если

 

A (ω)<1,то вход данной частоты ослабляется.

 

По форме АЧХ различают несколько основных типов звеньев:

 

1) фильтр низких частот –пропускает низкочастотные сигналы примерно с одинаковымкоэффициентом усиления, блокирует высокочастотные шумы и помехи;

 

2) фильтр высоких частот –пропускает высокочастотные сигналы,блокирует сигналынизкой частоты;

 

3) полосовой фильтр –пропускает только сигналы с частотами в полосе от ω ₁до ω ₂;

 

4) полосовой режекторный фильтр –блокирует только сигналы с частотами в полосе от ω ₁до ω ₂,остальные пропускает.

 

На рисунке показаны амплитудные частотные характеристики идеальных фильтров этих четы-рех типов:

 

⁶ Здесь, конечно, предполагается, что при синусоидальном входном сигнале система не «идет вразнос», то есть, ее выходной сигнал не растет неограниченно (система является устойчивой).

 

© К.Ю. Поляков, 2008

A (ω) A (ω) A (ω) A (ω)

ω 0

ω

ω

1 ω 2 ω

0 ω 1 ω 2 ω

фильтр низких

фильтр высоких

полосовой

полосовой

частот

частот

фильтр

режекторный фильтр

 

В радиотехнике используется понятие полосы пропускания – это ширина полосы частот, в кото-

рой значение АЧХ больше, чем 1/ 2 от ее максимального значения.

 

Частотные характеристики во многих случаях можно снять экспериментально. Если объ-ект устойчивый, на его вход подается гармонический сигнал (36) и записывается сигнал y (t) на

 

выходе. Определив амплитуду и сдвиг фазы для разных частот, можно построить по точкам ам-плитудную и фазовую частотные характеристики.

 

x	y
	устойчивый
	объект

Если объект неустойчив, то при подаче на вход синуса амплитуда колебаний на выходе будет неограниченно расти. Однако частотную характеристику все равно можно определить экспериментально. Для этого нужно сначала найти какой-нибудь регулятор, который сделает замкнутую систему устойчивой. Затем на вход r (t) подают синусоидальный сигнал и сравни-

вают сигналы x (t) и y (t) на входе и выходе интересующего нас объекта, определяя для каждой

 

частоты ω «коэффициент усиления»	A (ω)	(отношение амплитуд сигналов x (t) и y (t)) и сдвиг
фазы φ (ω).
r	x	y
регулятор	неустойчивый
объект