Импульсная характеристика (весовая функция)

 

В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а)-в) показаны три импульса, имею-щих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.

а) б) в) г)

 

δ (t)

 

0 t 0 t 0 t 0 t

 

Что будет, если мы будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь? Очевид-но, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бес-конечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичный импульс или дельта-функцию Дирака δ (t).Это идеальный(невозможный в реальной жизни)

 

сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0, где он уходит к бесконечность, при-чем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:

∞,	t =0		∞
,	∫ δ (t) dt =1.
δ (t)=	0,	t ≠0
		−∞

Поскольку бесконечный импульс невозможно нарисовать, на графике он изображается стрел-кой, высота которой равна единице (см. рисунок г).

 

Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигна-ла 1 (t). Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t, кроме нуля, где она

 

обращается в бесконечность.

 

Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной ха-

 

рактеристикой и обозначается w (t):

δ(t)			w (t)
	δ(t)		w (t)
	U
				t
	t

Импульсная характеристика, так же, как и переходная характеристика, определяется при нуле-вых начальных условиях, то есть, объект должен находиться в состоянии покоя.

 

Рассматривая дельта- функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единич-ной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.

Пусть ширина прямоугольного импульса равна ε, а высота – 1/ ε. Такой импульс можно представить в виде разности двух ступенчатых сигналов

 

x (t)= _ε ¹ [ 1 (t)− 1 (t − ε)],

 

где 1 (t − ε) – это единичный ступенчатый сигнал, который приходит в момент t = ε, то есть, смещен по времени на ε (см. рисунок далее).

 

© К.Ю. Поляков, 2008

x (t)			1(t)	1(t − ε)
1
ε

0 ε t 0 t ε

 

Так как для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, сигнал на выходе будет равен разности реакций системы на входы 1 (t) и 1 (t − ε), умноженной на коэффициент 1/ ε. Учиты-

 

вая, что реакция на сигнал 1 (t) – это переходная функция h (t), получаем y (t)= _ε ¹ [ h (t)− h (t − ε)].

Переходя к пределу при ε → 0, наодим, что импульсная характеристика

w (t)=lim h (t)− h (t − ε)	= dh (t)	,
ε →0	ε	dt

как оказывается, равна производной от переходной функции. Наоборот, переходная функция – это интеграл от импульсной характеристики на интервале от 0 до t:

h (t)=_∫ ^t w (τ) dτ.

 

 

Дифференцируя переходную характеристику (17) звена первого порядка, получаем соот-ветствующую импульсную характеристику:

 

d

t

k

t

w (t)=

k 1

−exp

−

=

exp

−

.

T

T

dt

T

Другое название импульсной характеристики – весовая функция. Это название связано с тем, что для произвольного входного сигнала x (t) выход системы y (t) при нулевых начальных

 

условиях вычисляется как интеграл

y (t)=∫ ^t	x (τ) w (t − τ) dτ =^∞∫ x (t − τ) w (τ) dτ.
−∞
Здесь функция w (t) как бы «взвешивает» входной сигнал x (t) в подынтегральном выражении.

 

Заметим, что импульсная характеристика дает неполную информацию об объекте, поскольку не учитывает ненулевые начальные условия.

 

В отличие от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины невоз-можно получить на реальном устройстве, поэтому снять импульсную характеристику системы, строго говоря, экспериментально не удается.

 

Передаточная функция

 

Вы уже знаете, выходной сигнал системы можно представить как результат действия не-которого оператора на ее вход. Для линейных моделей такой оператор можно записать сле-дующим образом.

 

Пусть модель объекта задана линейным дифференциальным уравнением второго порядка,

 

связывающим вход x (t) и выход y (t):
b	d ^2 y (t)	+ b	dy (t)	+ b y (t) = a	dx (t)	+ a		x (t)	(18)
dt ^2	dt
			^1 dt
где ai (i = 0,1) и bi (i = 0,1,2)	– постоянные.

 

 

© К.Ю. Поляков, 2008

Введем оператор дифференцирования p = _dt^d, который действует на сигнал x (t) по пра-

вилу p x (t) = ^dx_dt ^(t). Обратите внимание, что запись p x (t) обозначает не умножение оператора

p на x (t),а действие этого оператора,то есть дифференцирование x (t).

 

Теперь запишем производные сигналов x (t) и y (t) по времени в операторной форме

 

&

dy (t)

&&

d ^2 y (t)

= p

&

dx (t)

= px (t).

y (t)=

dt

= py (t), y (t) =

dt ^2

y (t), x (t)=

dt

Подставляя эти выражения в (18), получим

b p ^2 y (t)+ b py (t)+ b y (t)= a px (t)+ a x (t).

(19)

Можно формально вынести за скобки y (t) в левой части равенства (19) и x (t) в правой части:

(b p ^2

+ b p + b) y (t) = (a p + a) x (t).

(20)

Левая часть (20) означает, что оператор

b p ^2

+ b p + b

действует на сигнал y (t), а в правой час-

ти оператор a 1 p + a 0

действует на сигнал x (t). «Разделив» (условно, конечно) обе части (20) на

оператор b p ^2

+ b p + b

, связь выхода и входа можно записать в виде

y (t)=

a 1 p + a 0

x (t)= W (p) x (t),

(21)

b p ^2+ b p + b

где запись W (p) x (t)

означает не умножение, а действие сложного оператора

W (p)=

a 1 p + a 0

.

(22)

b p ^2+ b p + b

на сигнал x (t). Иначе говоря, формула

y (t)= W (p) x (t) –это не что иное,как символическая

запись уравнения (18), которую удобно использовать.

Функция

W (p)

называется

передаточной

функциейобъекта,который

описывается

 

уравнением (18). Она полностью описывает связи между выходом и входом объекта при нуле-вых начальных условиях, но не учитывает его внутреннее устройство.

 

Часто передаточной функцией называют функцию W (λ), которая получается из (22) в ре-

 

зультате замены оператора p на некоторую независимую переменную λ. Эта фукнция пред-ставляет собой отношение двух полиномов (многочленов) от λ.

 

Передаточная функция W (λ) называется правильной, если степень ее числителя не

 

больше,чем степень знаменателя; строго правильной,если степень числителя меньше степенизнаменателя; неправильной, если степень числителя больше, чем степень знаменателя. Напри-

мер, функция

– строго правильная и одновременно правильная;

λ

– правильная, но не

λ +1

λ

+1

строго правильная (иногда такие функции называют биправильными), а

^λ ^2^+ ^λ ^+^1 – неправиль-

ная.

λ +1

Нулямипередаточной функции называются корни ее числителя,аполюсами–корни

знаменателя. Например, функция W (λ) =

λ −1

имеет нуль в точке λ =1 и два полюса в

+ 3 λ +

λ

точках λ = −1 и λ = −2.

 

3.6. Преобразование Лапласа

3.6.1. Что такое преобразование Лапласа?

 

Одна из первых задач, которые были поставлены в теории управления – вычисление вы-хода системы при известном входе. Мы видели, что для ее решения нужно решать дифференци-

 

© К.Ю. Поляков, 2008

альные уравнения. Чтобы упростить процедуру, математики придумали преобразование, кото-рое позволило заменить решение дифференциальных уравнений алгебраическими вычисле-ниями, то есть, операциями с полиномами (многочленами) и рациональными функциями.

 

Для функции f (t) вводится преобразование Лапласа, которое обозначается как L { f (t)}:

F (s)=L{ f (t)}=^∞∫ f (t) e ^− ^st	dt.	(23)
Функция F (s) называется изображением для функции	f (t) (оригинала).Здесь s –	это ком-
плексная переменная, которая выбирается так, чтобы интеграл (23) сходился^3.
Обратное преобразование Лапласа L ^-1{ F (s)}позволяет вычислить оригинал	f (t)по
известному изображению F (s):
			σ + j ∞
f (t)=L^- 1{ F (s)}=		∫ F (s) e^st ds,	(24)
	2 π	^j σ − j ∞

где j = −1, а постоянная σ выбирается так, чтобы интеграл сходился⁴.

На практике вместо интеграла (24) чаще всего используют готовые таблицы, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот. Например, изображения по Ла-

 

пласу для дельта-функции, единичного скачка и функции e ^{− at} равны, соответственно

 

L{ δ (t)}=1,L{1(t)}=	1	,	L{ e ^− ^at }=		.	(25)
s	s + a

 

3.6.2. Свойства преобразования Лапласа

 

Преобразование Лапласа имеет несколько замечательных свойств. Во -первых, используя (23) и (24), легко доказать, что принцип суперпозиции выполняется как для прямого, так и для обратного преобразования Лапласа:

 

L{ f 1(t)+ f 2(t)}=L{ f 1(t)}+L{ f 2(t)},	(26)
L ^-1{ F	(s) + F	(s)} = L ^-1{ F	(s)} + L^-1{ F (s)}.	(27)

Во-вторых, изображение для производной функции f (t) равно

L ^{df (t)} = s ⋅ F (s)− f (0),

 

dt

 

где F (s) – изображение функции f (t), и f (0) – ее значение⁵ при t = 0. Поэтому при нулевых

 

начальных условиях изображение производной равно изображению самой функции,умножен-ному на s. Аналогично для построения изображения i -ой производной нужно умножить изо-

бражение функции на sⁱ (это также справедливо только при нулевых начальных условиях). Кроме того, с помощью преобразование Лапласа можно сразу найти начальное и конеч-

 

ное значения функции-оригинала(при t =0и t →∞),не вычисляя самого оригинала:

f (0)=lim s ⋅ F (s),	f (∞)=lim s ⋅ F (s).	(28)
s →∞	s →0

 

 

³ Преобразование Лапласа определяется для функций ограниченного роста, таких что f (t) < Me^αt, где M и α – постоянные, и α называется показателем роста функции f (t). Для всех s, вещественная часть которых боль-

 

ше α (в области Re s > α) функция f (t) e ^{− st} затухает при t → ∞ и интеграл (23) сходится.

 

⁴ Постоянная σ должна быть больше, чем показатель роста α функции-оригинала f (t). При этом можно пока-зать, что значение интеграла (24) не зависит от выбора σ.

⁵ Если функция имеет разрыв при t = 0, нужно брать предел слева, то есть ее значение при бесконечно малом от-рицательном t.

 

										© К.Ю. Поляков, 2008
3.6.3. Снова передаточная функция
Рассмотрим снова уравнение (18):
b	d ^2 y (t)	+ b	dy (t)	+ b y (t) = a	dx (t)	+ a	x (t)	(29)
dt ^2	dt	dt

Применим к левой и правой частям преобразование Лапласа, считая, что все начальные условия нулевые. Получается уравнение в изображениях, связывающее преобразования Лапласа входа X (s)и выхода Y (s):

b ⋅ s ^2 Y (s)

+ b ⋅ sY (s)

+ b ⋅ Y (s) = a ⋅ sX (s) + a

⋅ X (s)

Можно вынести за скобки Y (s) в левой части и X (s) в правой части:

(b s

^2 + b s + b) ⋅ Y (s) = (a s + a

) ⋅ X (s).

Разделив обе части этого равенства на b s ^2

+ b s + b, получаем

Y (s)=

a 1 s + a 0

⋅ X (s)= W (s)⋅ X (s),

где W (s) =

a 1 s + a 0

.

(30)

b s ^2+ b s + b

b s ^2

+ b s + b

Сравнение (22) и (30) показывает, что W (s) – это передаточная функция объекта, записанная в виде функции от комплексной переменной s, а не от оператора дифференцирования p, как

 

в (22).

 

Таким образом, при нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объек-

 

та вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигна-ла.

Из (30) следует и другой важный вывод: передаточная функция равна отношению изо-бражений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях.

 

3.6.4. Пример

 

Рассмотрим пример использования преобразования Лапласа для вычисления выхода сис-темы при известном входном сигнале. Пусть объект управления описывается уравнением пер-вого порядка (16):

 

T	dy (t)	+ y (t) = k ⋅ x (t)	(31)
dt

и на его вход поступает единичный ступенчатый сигнал x (t) = 1 (t). Требуется найти сигнал вы-хода y (t), который в данном случае представляет собой переходную характеристику.

Решим эту задачу с помощью передаточных функций и изображений сигналов по Лапла-су. Чтобы найти изображение выхода по формуле (30), нужно знать изображение входного сиг-нала X (s) и передаточную функцию звена W (s). Изображение входа находим по табличным

 

данным (см. (25)), а передаточную функцию – из (31), повторяя приведенные выше рассужде-ния:

 

X (s)=	1	, W (s) =	k		.
s	Ts +1

Теперь находим изображение выхода

 

Y (s)= ¹ _s ⋅ _Ts^k ₊₁= ^k _s − _Ts^kT ₊₁.

и представляем его в виде суммы элементарных дробей:

 

Y (s)= ^k _s − _{s +} ^k _{1/ T}.

Используя принцип суперпозиции для изображений (27), вычисляем оригинал – сигнал выхода:

 

y (t)= k ⋅L	−1	1		− k ⋅L	−1
						.
		s				s +1/ T

Обратные преобразования Лапласа находим по таблице (25):

 

© К.Ю. Поляков, 2008

		t
y (t)= k − k ⋅exp	−		при t > 0	,
		T

что совпадает с (17). Таким способом можно вычислять реакцию системы на известный вход-ной сигнал без прямого решения дифференциального уравнения.

Применяя формулы (28) для вычисления начального и конечного значений сигнала выхо-

 

да y (t):
y (0)=lim s ⋅ Y (s),		y (∞)=lim s ⋅ Y (s).
s →∞					s →0
При ступенчатом входном сигнале с изображением X (s) = ^1 получаем
y (0)=lim W (s)		s
,	y (∞)= W (0).
		s →∞
Таким образом, для рассмотренного выше примера
y (0)=lim		k	= 0,	y (∞)= W (0)= k.
^s ^→∞ Ts +1

Значение W (0) называют статическим коэффициентом усиления звена, поскольку он пока-зывает, во сколько раз усиливается постоянный сигнал.