Импульсная характеристика (весовая функция) 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Импульсная характеристика (весовая функция)



 

В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а)-в) показаны три импульса, имею-щих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.

а) б) в) г)

 

δ (t)

 

0 t 0 t 0 t 0 t

 

Что будет, если мы будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь? Очевид-но, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бес-конечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичный импульс или дельта-функцию Дирака δ (t).Это идеальный(невозможный в реальной жизни)

 

сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0, где он уходит к бесконечность, при-чем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:

∞, t =0    
, δ (t) dt =1.  
δ (t)= 0, t ≠0  
    −∞  

Поскольку бесконечный импульс невозможно нарисовать, на графике он изображается стрел-кой, высота которой равна единице (см. рисунок г).

 

Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигна-ла 1 (t). Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t, кроме нуля, где она

 

обращается в бесконечность.

 

Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной ха-

 

рактеристикой и обозначается w (t):

δ(t)     w (t)    
  δ(t)   w (t)    
  U    
         
        t  
  t    
   

Импульсная характеристика, так же, как и переходная характеристика, определяется при нуле-вых начальных условиях, то есть, объект должен находиться в состоянии покоя.

 

Рассматривая дельта- функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единич-ной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.

Пусть ширина прямоугольного импульса равна ε, а высота – 1/ ε. Такой импульс можно представить в виде разности двух ступенчатых сигналов

 

x (t)= ε 1 [ 1 (t)− 1 (tε)],

 

где 1 (tε) – это единичный ступенчатый сигнал, который приходит в момент t = ε, то есть, смещен по времени на ε (см. рисунок далее).


 


© К.Ю. Поляков, 2008

x (t)     1(t) 1(tε)  
1      
ε          
     
         
           

0 ε t 0 t ε

 

Так как для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, сигнал на выходе будет равен разности реакций системы на входы 1 (t) и 1 (tε), умноженной на коэффициент 1/ ε. Учиты-

 

вая, что реакция на сигнал 1 (t) – это переходная функция h (t), получаем y (t)= ε 1 [ h (t)− h (tε)].

Переходя к пределу при ε → 0, наодим, что импульсная характеристика

w (t)=lim h (t)− h (tε) = dh (t) ,
ε →0 ε dt  
       

как оказывается, равна производной от переходной функции. Наоборот, переходная функция – это интеграл от импульсной характеристики на интервале от 0 до t:

h (t)= t w (τ) .

 

 

Дифференцируя переходную характеристику (17) звена первого порядка, получаем соот-ветствующую импульсную характеристику:

 

  d       t   k     t  
w (t)=   k 1 −exp       =   exp   .  
         
                    T T  
  dt   T    

Другое название импульсной характеристики – весовая функция. Это название связано с тем, что для произвольного входного сигнала x (t) выход системы y (t) при нулевых начальных

 

условиях вычисляется как интеграл

y (t)= t x (τ) w (tτ) = x (tτ) w (τ) .
−∞  
Здесь функция w (t) как бы «взвешивает» входной сигнал x (t) в подынтегральном выражении.

 

Заметим, что импульсная характеристика дает неполную информацию об объекте, поскольку не учитывает ненулевые начальные условия.

 

В отличие от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины невоз-можно получить на реальном устройстве, поэтому снять импульсную характеристику системы, строго говоря, экспериментально не удается.

 

Передаточная функция

 

Вы уже знаете, выходной сигнал системы можно представить как результат действия не-которого оператора на ее вход. Для линейных моделей такой оператор можно записать сле-дующим образом.

 

Пусть модель объекта задана линейным дифференциальным уравнением второго порядка,

 

связывающим вход x (t) и выход y (t):                  
b d 2 y (t) + b dy (t) + b y (t) = a dx (t) + a   x (t) (18)  
dt 2 dt      
      1 dt          
где ai (i = 0,1) и bi (i = 0,1,2) – постоянные.                

 

 


© К.Ю. Поляков, 2008

Введем оператор дифференцирования p = dtd, который действует на сигнал x (t) по пра-

вилу p x (t) = dxdt (t). Обратите внимание, что запись p x (t) обозначает не умножение оператора

p на x (t),а действие этого оператора,то есть дифференцирование x (t).

 

Теперь запишем производные сигналов x (t) и y (t) по времени в операторной форме

 

& dy (t) && d 2 y (t) = p   & dx (t) = px (t).    
y (t)= dt = py (t), y (t) = dt 2   y (t), x (t)= dt    
Подставляя эти выражения в (18), получим                
  b p 2 y (t)+ b py (t)+ b y (t)= a px (t)+ a x (t). (19)
             
                               

Можно формально вынести за скобки y (t) в левой части равенства (19) и x (t) в правой части:

      (b p 2 + b p + b) y (t) = (a p + a) x (t). (20)  
                         
Левая часть (20) означает, что оператор b p 2 + b p + b действует на сигнал y (t), а в правой час-  
                         
ти оператор a 1 p + a 0 действует на сигнал x (t). «Разделив» (условно, конечно) обе части (20) на  
оператор b p 2 + b p + b , связь выхода и входа можно записать в виде    
                           
      y (t)=   a 1 p + a 0   x (t)= W (p) x (t), (21)  
      b p 2+ b p + b  
где запись W (p) x (t)                        
означает не умножение, а действие сложного оператора    
        W (p)=   a 1 p + a 0   . (22)  
        b p 2+ b p + b  
                         
на сигнал x (t). Иначе говоря, формула y (t)= W (p) x (t) –это не что иное,как символическая  
запись уравнения (18), которую удобно использовать.        
Функция W (p) называется передаточной функциейобъекта,который описывается  

 

уравнением (18). Она полностью описывает связи между выходом и входом объекта при нуле-вых начальных условиях, но не учитывает его внутреннее устройство.

 

Часто передаточной функцией называют функцию W (λ), которая получается из (22) в ре-

 

зультате замены оператора p на некоторую независимую переменную λ. Эта фукнция пред-ставляет собой отношение двух полиномов (многочленов) от λ.

 

Передаточная функция W (λ) называется правильной, если степень ее числителя не

 

больше,чем степень знаменателя; строго правильной,если степень числителя меньше степенизнаменателя; неправильной, если степень числителя больше, чем степень знаменателя. Напри-

мер, функция     – строго правильная и одновременно правильная;   λ   – правильная, но не  
λ +1 λ +1  
               
строго правильная (иногда такие функции называют биправильными), а λ 2+ λ +1 – неправиль-  
ная.                     λ +1  
                       
Нулямипередаточной функции называются корни ее числителя,аполюсами–корни  
знаменателя. Например, функция W (λ) =   λ −1   имеет нуль в точке λ =1 и два полюса в  
  + 3 λ +    
        λ            

точках λ = −1 и λ = −2.

 

3.6. Преобразование Лапласа

3.6.1. Что такое преобразование Лапласа?

 

Одна из первых задач, которые были поставлены в теории управления – вычисление вы-хода системы при известном входе. Мы видели, что для ее решения нужно решать дифференци-


 


© К.Ю. Поляков, 2008

альные уравнения. Чтобы упростить процедуру, математики придумали преобразование, кото-рое позволило заменить решение дифференциальных уравнений алгебраическими вычисле-ниями, то есть, операциями с полиномами (многочленами) и рациональными функциями.

 

Для функции f (t) вводится преобразование Лапласа, которое обозначается как L { f (t)}:

F (s)=L{ f (t)}= f (t) e st dt. (23)  
             
Функция F (s) называется изображением для функции f (t) (оригинала).Здесь s это ком-  
плексная переменная, которая выбирается так, чтобы интеграл (23) сходился3.    
Обратное преобразование Лапласа L -1{ F (s)}позволяет вычислить оригинал f (t)по  
известному изображению F (s):            
      σ + j      
f (t)=L- 1{ F (s)}=   F (s) est ds, (24)  
     
  2 π j σj      

где j = −1, а постоянная σ выбирается так, чтобы интеграл сходился4.

На практике вместо интеграла (24) чаще всего используют готовые таблицы, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот. Например, изображения по Ла-

 

пласу для дельта-функции, единичного скачка и функции e at равны, соответственно

 

L{ δ (t)}=1,L{1(t)}= 1 , L{ e at }=   . (25)  
s s + a  
           

 

3.6.2. Свойства преобразования Лапласа

 

Преобразование Лапласа имеет несколько замечательных свойств. Во -первых, используя (23) и (24), легко доказать, что принцип суперпозиции выполняется как для прямого, так и для обратного преобразования Лапласа:

 

L{ f 1(t)+ f 2(t)}=L{ f 1(t)}+L{ f 2(t)}, (26)
L -1{ F (s) + F (s)} = L -1{ F (s)} + L-1{ F (s)}. (27)
         

Во-вторых, изображение для производной функции f (t) равно

L df (t) = sF (s)− f (0),

 

dt

 

где F (s) – изображение функции f (t), и f (0) – ее значение5 при t = 0. Поэтому при нулевых

 

начальных условиях изображение производной равно изображению самой функции,умножен-ному на s. Аналогично для построения изображения i -ой производной нужно умножить изо-

бражение функции на si (это также справедливо только при нулевых начальных условиях). Кроме того, с помощью преобразование Лапласа можно сразу найти начальное и конеч-

 

ное значения функции-оригинала(при t =0и t →∞),не вычисляя самого оригинала:

f (0)=lim sF (s), f (∞)=lim sF (s). (28)
s →∞ s →0  

 

 

3 Преобразование Лапласа определяется для функций ограниченного роста, таких что f (t) < Meαt, где M и α – постоянные, и α называется показателем роста функции f (t). Для всех s, вещественная часть которых боль-

 

ше α (в области Re s > α) функция f (t) e st затухает при t → ∞ и интеграл (23) сходится.

 

4 Постоянная σ должна быть больше, чем показатель роста α функции-оригинала f (t). При этом можно пока-зать, что значение интеграла (24) не зависит от выбора σ.

5 Если функция имеет разрыв при t = 0, нужно брать предел слева, то есть ее значение при бесконечно малом от-рицательном t.


 


                    © К.Ю. Поляков, 2008  
3.6.3. Снова передаточная функция              
Рассмотрим снова уравнение (18):                  
b d 2 y (t) + b dy (t) + b y (t) = a dx (t) + a x (t) (29)  
dt 2 dt dt  
                 

Применим к левой и правой частям преобразование Лапласа, считая, что все начальные условия нулевые. Получается уравнение в изображениях, связывающее преобразования Лапласа входа X (s)и выхода Y (s):

  bs 2 Y (s) + bsY (s) + bY (s) = asX (s) + a   X (s)        
                               
Можно вынести за скобки Y (s) в левой части и X (s) в правой части:          
    (b s 2 + b s + b) ⋅ Y (s) = (a s + a ) ⋅ X (s).              
                                 
Разделив обе части этого равенства на b s 2 + b s + b, получаем              
                                   
Y (s)=   a 1 s + a 0     X (s)= W (s)⋅ X (s), где W (s) = a 1 s + a 0   . (30)  
b s 2+ b s + b        
                  b s 2 + b s + b      
                                 

Сравнение (22) и (30) показывает, что W (s) – это передаточная функция объекта, записанная в виде функции от комплексной переменной s, а не от оператора дифференцирования p, как

 

в (22).

 

Таким образом, при нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объек-

 

та вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигна-ла.

Из (30) следует и другой важный вывод: передаточная функция равна отношению изо-бражений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях.

 

3.6.4. Пример

 

Рассмотрим пример использования преобразования Лапласа для вычисления выхода сис-темы при известном входном сигнале. Пусть объект управления описывается уравнением пер-вого порядка (16):

 

T dy (t) + y (t) = kx (t) (31)  
dt  
       

и на его вход поступает единичный ступенчатый сигнал x (t) = 1 (t). Требуется найти сигнал вы-хода y (t), который в данном случае представляет собой переходную характеристику.

Решим эту задачу с помощью передаточных функций и изображений сигналов по Лапла-су. Чтобы найти изображение выхода по формуле (30), нужно знать изображение входного сиг-нала X (s) и передаточную функцию звена W (s). Изображение входа находим по табличным

 

данным (см. (25)), а передаточную функцию – из (31), повторяя приведенные выше рассужде-ния:

 

X (s)= 1 , W (s) = k   .  
s Ts +1  
       

Теперь находим изображение выхода

 

Y (s)= 1 sTsk +1= k sTskT +1.

и представляем его в виде суммы элементарных дробей:

 

Y (s)= k ss + k 1/ T.

Используя принцип суперпозиции для изображений (27), вычисляем оригинал – сигнал выхода:

 

y (t)= k ⋅L −1 1   k ⋅L −1        
            .  
       
    s       s +1/ T  

Обратные преобразования Лапласа находим по таблице (25):


 


© К.Ю. Поляков, 2008

    t    
y (t)= kk ⋅exp   при t > 0 ,  
   
    T    

что совпадает с (17). Таким способом можно вычислять реакцию системы на известный вход-ной сигнал без прямого решения дифференциального уравнения.

Применяя формулы (28) для вычисления начального и конечного значений сигнала выхо-

 

да y (t):            
y (0)=lim sY (s),   y (∞)=lim sY (s).  
s →∞         s →0  
При ступенчатом входном сигнале с изображением X (s) = 1 получаем  
y (0)=lim W (s)   s  
, y (∞)= W (0).  
    s →∞        
Таким образом, для рассмотренного выше примера  
y (0)=lim   k = 0, y (∞)= W (0)= k.  
       
s →∞ Ts +1        

Значение W (0) называют статическим коэффициентом усиления звена, поскольку он пока-зывает, во сколько раз усиливается постоянный сигнал.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 758; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.239.11.178 (0.105 с.)