Множество стабилизирующих регуляторов

 

Как известно, не каждый регулятор стабилизирует систему. Поэтому важно выделить множество регуляторов, которые обеспечивают устойчивость замкнутого контура. Такие регу-ляторы называются стабилизирующими. Желательно также получить параметризацию, то есть, представить все множество стабилизирующих регуляторов в виде формулы, зависящей от па-раметра, который может выбираться произвольно в некоторой допустимой области.

 

Рассмотрим простейшую замкнутую систему: регулятор объект

x +	e					u			y
C (s)				P (s)
–
Ее передаточная функция равна						C (s) P (s)
		W (s)=				.	(54)
		+ C (s) P (s)

Регулятор входит в нее нелинейно, что значительно осложняет анализ и синтез системы. Заме-тим, что эту функцию можно представить в виде

 

W (s) = Q (s) P (s),где	Q (s) =		C (s)	(55)
	1+ C (s) P (s)

 

 

© К.Ю. Поляков, 2008

Выражение (55) внешне выглядит как передаточная функция последовательного соединения объекта P (s) и «регулятора» Q (s), причем оно линейно зависит от Q (s). Поэтому естественно

 

возникает вопрос: нельзя ли сначала выбрать нужным образом Q (s), а затем найти соответст-

 

вующий ей регулятор, выразив его передаточную функцию из (55):
C (s) =		Q (s)
		.	(56)
1− Q (s) P (s)

Очевидно, что функция Q (s) должна быть устойчивой, иначе передаточная функция замкнутой системы W (s) (55) также окажется неустойчивой. Оказывается, если объект P (s) устойчив, то

 

регулятор, полученный из (56), всегда будет стабилизирующим. Более того, форма (56) охваты-вает все возможные стабилизирующие регуляторы. Поэтому (56) – это параметризация множе-ства стабилизирующих регуляторов для устойчивого объекта, она называется параметризаци-

 

ей Юла (D.C. Youla).

 

Параметром в (56) является устойчивая функция Q (s), которая может выбираться произ-

 

вольно. На практике регулятор (56) должен быть физически реализуемым. Это значит, что пере-даточная функция C (s) должна быть правильной (степень ее числителя не больше степени зна-

 

менателя). Для этого функция Q (s) также должна быть правильной.

 

Теоретически для оптимального слежения нужно выбрать Q (s) =1/ P (s), что дает W (s)=1,однако чаще всего это невозможно.Дело в том,что передаточная функция объекта в

 

практических задачах – строго правильная (степень числителя меньше степени знаменателя), и Q (s)получается неправильной. Поэтому используют компромиссные решения,обеспечивая

 

приближенную инверсию только для наиболее важной полосы частот.

 

Существует множество методов синтеза, в которых устойчивая и правильная функция Q (s)выбирается в результате численной оптимизации по какому-либо критерию.Затем переда-

точная функция регулятора рассчитывается по формуле (56).

 

Посмотрим, что получится, если попробовать применить такой подход для неустойчивого

 

объекта с передаточной функцией P (s) = _s ¹₋₁. Выбрав Q (s) =1, из (56) получаем

C (s)= _s^s ₋⁻¹₂.

При этом в произведении C (s) P (s) = _s^s ₋⁻¹₂ ⋅ _s ¹₋₁ неустойчивый полюс модели объекта сокраща-

ется (компенсируется) неустойчивым нулем регулятора. Характеристический полином

 

∆(s) = s −1+ (s − 2)(s −1) = (s −1)²

 

будет неустойчивым, как и вся замкнутая система. Следовательно, параметризацию (56) в этом случае использовать нельзя.

Для неустойчивых объектов используют другую, более сложную параметризацию. Пусть

 

P (s)= _d^{n (}₍ ^s_s ⁾₎,где n (s)и d (s)–полиномы.Выберем произвольный устойчивый полином f (s),

степень которого равна наибольшей из степеней n (s) и d (s). Представим функцию P (s) в ви-де отношения рациональных функций

 

P (s)= ^U_{V (}⁽ _s^s ₎⁾,где U (s)= ⁿ_f ⁽₍ ^s_s ⁾₎и V (s)= ^d_f ⁽₍ ^s_s ⁾₎.

Можно показать, что существуют такие правильные устойчивые функции X (s)	и Y (s), для ко-
торых выполняется равенство
U (s) X (s)+ V (s) Y (s)=1.	(57)
Тогда множество всех стабилизирующих регуляторов описывается формулой

 

 

			© К.Ю. Поляков, 2008
C (s) =	X (s) + V (s) Q (s)	,	(58)
Y (s)− U (s) Q (s)

где Q (s) – произвольная правильная устойчивая функция. Выражение (58) определяет пара-

 

метризацию множества стабилизирующих регуляторов (параметризацию Юла)в общем слу-

 

чае, даже для неустойчивых объектов. Подставив (58) в формулу (54), получаем, учитывая (57),

W (s)=[ X (s)+ V (s) Q (s)] U (s).

 

При синтезе можно выбирать устойчивую правильную функцию Q (s), при которой пере-

 

даточные функции замкнутой системы (по входу, по возмущению, по ошибке) имеют нужные свойства, а затем вычислять передаточную функцию регулятора, используя (58).

Для

примера рассмотрим

снова неустойчивый

объект с передаточной функцией

P (s) =

, которую можно записать в виде

s −1

U (s)

s −1

P (s) =

, где

U (s) =

,

V (s) =

.

s

+1

V (s)

s +1

Решением уравнения (57) может быть, например, такая пара устойчивых функций

X (s)=

, Y (s) =

s +3

.

s

+1

s +1

При выборе Q (s) =1 по формуле (58) получаем

C (s) =

s +3

.

Теперь в произведении C (s) P (s)

s +2

нет никаких сокращений, система устойчива.

 

 

© К.Ю. Поляков, 2008

 

Заключение

 

Шаг за шагом, мы рассмотрели основные понятия классической теории автоматического управления. Нужно понимать, что вы прочитали не учебник, а небольшое введение, призванное познакомить с основными понятиями и дать общее представление о предмете.Тот,кто серьез-но собирается изучать методы теории управления и использовать их в своей работе, должен продолжить изучение, взяв «нормальные» учебники (см. список литературы), в которых эти и другие вопросы изложены значительно более строго и научно.

 

За рамками пособия остались многие темы, с которыми должен быть знаком современный специалист по автоматическому управлению. Достаточно сказать, что мы рассмотрели только линейные непрерывные системы, тогда как практически все реальные системы содержат нели-нейности и управляются цифровыми регуляторами, то есть являются непрерывно-дискретными.

 

При проектировании обязательно должны учитываться случайные воздействия, которые не обсуждались в пособии. Внедрение цифровых компьютеров позволило использовать адап-тивные системы со сложными алгоритмами управления,требующими объемных вычислений.Развиваются и новые классы систем, в которых для управления используется методы искусст-венного интеллекта и теории нечетких множеств.

 

Автор будет считать свою задачу выполненной, если читатель почувствует в себе силы не остановиться на достигнутом и продолжить самообразование.

 

 

© К.Ю. Поляков, 2008

 

Литература для последующего чтения

 

(в порядке увеличения количества страниц)

 

1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления.М.:

 

Наука, 1989.

2. Мирошник И.В. Теория автоматического управления.Линейные системы.СПб.:Питер,2005.

3. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления–М.:Наука, 1986.

4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления– 4-е изд.СПб.:Профессия, 2003.

5. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления–М.:Бином,Лаборатория базовыхзнаний, 2004.

6. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления.М.:Бином,Ла-боратория базовых знаний, 2004.