В РАС в качестве корректирующих звеньев используются пассивные и активные электрические цепи.

Корректирующие устройства подразделяются на

· линейные и нелинейные,

· пассивные и активные,

· с коррекцией по постоянному и переменному напряжениям.

По виду включения в РАС корректирующие устройства подразделяются на

· последовательные,

· параллельные,

· с местной обратной связью,

· с комбинированным управлением.

 

Последовательное включение корректирующего звена К_К (рис. 7.2).

Обычно так включают корректирующие звенья интегрирующего типа. Введение интегрирующего звена в данном случае повышает точность системы за счет увеличения порядка астатизма системы.

 

Параллельное включение корректирующего звена (рис. 7.3).

Обычно при таком включении используют дифференцирующие звенья. Как известно, такие звенья вызывают подъем высоких частот. Применение подобных звеньев позволяет повысить запас устойчивости в области ОВЧ.

Включение корректирующего звена с местной обратной связью показано на рис. 7.4, а на рис. 7.5 – включение звена с комбинированным управлением.

Различают такие виды местной обратной связи:

· жесткая обратная связь: К_К = k_ос;

· инерционная жесткая обратная связь: ;

· гибкая обратная связь: К_К = k_осp;

· инерционная гибкая обратная связь: .

Рассмотрим влияние жесткой обратной связи (К_К = k_ос) на инерционное (W(p) = k₀ /(1 + pT₀)) и интегрирующее (W(p) = k₀ / p) звенья [4].

K(p) = k₀ /(1 + k₀k_ос + pT₀), k_экв = k₀ /(1 + k₀k_ос), T_экв = T₀ /(1 + k₀k_ос). (7.6)

Таким образом, охват инерционного звена жесткой обратной связью не изменяет его характера (K(p) = k_экв /(1 + pT_экв)), но при этом коэффициент усиления и постоянная времени звена уменьшаются в (1 + k₀k_ос) раз.

При охвате интегрирующего звена жесткой обратной связью изменяется тип звена: получается инерционное звено с ПФ K(p) = k_{эк в}/(1 + pT_экв).

K(p) = k₀ /(k₀k_ос + p) = , k_экв = 1/ k_ос, T_экв = 1/(k₀k_ос). (7.7)

Гибкая обратная связь содержит дифференцирующие звенья и действует только в переходном режиме. В результате точность РАС в установившемся режиме не изменяется [4].

Рассмотрим влияние гибкой инерционной обратной связи () на безынерционное (W(p) = k₀) и интегрирующее (W(p) = k₀ / p) звенья.

Для безынерционного звена получаем:

, (7.8)

что эквивалентно включению в РАС последовательного звена с отставанием по фазе.

Для интегрирующего звена (W(p) = k₀ / p) получаем:

, (7.9)

где k_экв = k₀ /(1 + k₀Т_ос), Т_экв = Т_ос /(1 + k₀Т_ос), что эквивалентно включению в РАС последовательного звена с опережением по фазе [4].

Звенья с комбинированным управлением (рис. 7.5) могут придать РАС особые свойства. Например, при РАС становится невосприимчивой к ошибке. В результате можно повысить точность РАС без ухудшения устойчивости.

Пример 7.2. Рассмотрим пример синтеза схемы по заданной асимптотической ЛАЧХ [6, 17] по следующим исходным данным: L(0) = 60 дБ, w _с1 = 10, w _с2 = 100, w _с3 = 3000 (рад/с),

наклон ЛАЧХ на участке до w _с1 = –20 дБ/дек, на участке w _с1 – w _с2 = –40 дБ/дек, w _с2 – w _с3 = –20 дБ/дек, и после w _с3 = = –40 дБ/дек).

Построенная по исходным данным асимптотическая ЛАЧХ изображена на рис. 7.6.

Необходимо разбить ЛАЧХ на элементарные участки, которым можно будет поставить в соответствие типовые динамические звенья первого и второго порядков (прил. 2).

Возможны несколько вариантов разбиения системы на элементарные звенья.

На рис. 7.7 приведены ЛАЧХ трех динамических звеньев, каскадное соединение которых дает заданную ЛАЧХ:

два звена интегрирующих с запаздыванием (1 с w _с1 и 3 с w _с3), и

одно изодромное (2 с w_с2).

 

ПФ каскадного соединения звеньев:

. (7.10)

С учетом соотношения между постоянной времени и частотой сопряжения звена (T_i = 1/w_сi) получаем:

T₁ = 0,1 с, T₂ = 0,01 с, T₃ = 0,33 мс.

На рис. 7.8 сплошной линией приведена ЛАЧХ синтезированной схемы (31). Штриховой линией на рис. 7.8 показана заданная асимптотическая ЛАЧХ. Отклонения асимптотической ЛАЧХ от точной в области частот среза не превышают 3 дБ.

На основании ПФ (7.10) и данных рис. 7.7 получаем электрическую схему, изображенную на рис. 7.9.

Определим номиналы элементов.

Пусть k₁ = k₂ = k₃ =10 (20 дБ).

R₂C₁ = T₁ = 0,1 с, пусть C₁ = 1 мкФ, тогда R₂ = 100 кОм, а R₁ = 10 кОм.

R₄C₂ = T₃ = 0,33 мс, пусть C₂ = 33 нФ, тогда R₄ = 100 кОм, а R₃ = 10 кОм.

R₆C₃ = T₂ = 0,01 с, пусть C₃ = 10 мкФ, тогда R₆ = 1 кОм, R₇ = 100 кОм, а R₅ = 10 кОм.

Сопротивление R₇ в изодромное звено введено для получения необходимого КУ по постоянному напряжению.

Повышая значение R₇ со 100 до 150 кОм отклонение ЛАЧХ от заданной на w =1 можно снизить до 1 дБ.

При применении инверсии фазы в одном или трех каскадах график ЛФЧХ сместится на 180° вниз, и соответственно изменятся запасы устойчивости.

При практической реализации схемы, показанной на рис. 7.9, следует выбирать включение и цепи коррекции операционных усилителей так, чтобы каждый каскад оставался устойчивым.

На рис. 7.10 сплошной линией приведена ЛАЧХ синтезированной схемы.

Отклонения от заданной (штриховая линия на рис. 7.10) максимальны на w < 1 и не превышают 3 дБ.

На рис. 7.10 также приведена ЛФЧХ системы и определены запасы устойчивости по усилению (L_З = 130 дБ) и по фазе (j_З = 55°).

На рис. 7.11 изображены графики ПХ и ИХ.

 

Оптимизация РАС

При проектировании РАС по заданным показателям качества, характеристикам сигналов и помех требуется обеспечить наилучшие характеристики работы или характеристики не хуже заданных. Спроектированная в результате РАС называется оптимальной. Так как различные параметры системы могут по-разному влиять на выходные характеристики, обычно требуется находить компромиссное решение, руководствуясь выбранным критерием оптимальности.

Несложно спроектировать РАС, которая позволяла бы получать сколь угодно малую ошибку обработки управляющего воздействия, либо малую ошибку от воздействия помех, однако одновременно удовлетворить требование минимальной ошибки по управляющему воздействию и по возмущению (помехам) оказывается невозможным.

Анализ показывает, что обобщенная РАС обрабатывает входное воздействие подобно ФНЧ , а возмущение – подобно ФВЧ . При расширении полосы пропускания увеличивается составляющая ошибки по возмущению (помехе), но уменьшается составляющая ошибки по управляющему воздействию.

Наиболее распространенным критерием оптимизации является критерий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО).

При заданной структурной схеме оптимизация РАС связана лишь с изменением параметров элементов схемы. Обычно такими параметрами оптимизации являются коэффициенты передачи по постоянному напряжению () и постоянные времени фильтров (T_i).

Аналитически задача решается взятием производной от функции СКО по параметру оптимизации; определив нули производной, находят оптимальное значения параметра.

Пример 7.3. Рассмотрим пример оптимизации обобщенной РАС (рис. 3.2) при K₁ = S_д и по параметрам T и k₂ [1, 18] при квадратичном воздействии λ(t) = λ ₂t² ×1(t) и белом шуме на выходе дискриминатора со спектральной плотностью ξ(t) = S _ξ(0) = N₀.

Математическое ожидание установившегося значения ошибки равно: . (7.11)

Дисперсия ошибки слежения в установившемся режиме равна:

 

. (7.12)

С помощью формулы (П.2) прил. 3 получаем:

. (7.13)

Формула для СКО запишется так:

. (7.14)

Для определения экстремумов (7.14) продифференцируем функцию СКО по параметрам T и k₂ и приравняем производные к нулю:

; (7.15)

 

. (7.16)

Решая уравнения (7.15) и (7.16) совместно относительно параметров T и k₂ получаем оптимальные значения:

; . (7.17)

Существование оптимального значения k₂ объясняется тем, что при малых значениях k₂ увеличивается составляющая динамической ошибки (по воздействию λ(t)), а при больших k₂ возрастает дисперсия флуктуационной ошибки, обусловленной действием шума.

Качество переходного периода при найденном значении Т_опт получается удовлетворительным, а его длительность Т_р» 3 Т_опт .

Если время регулирования потребуется уменьшить, то при уменьшении Т менее Т_опт, будет возрастать СКО из-за увеличения D_x, для компенсации этого потребуется коррекция параметров элементов схемы (S_д, k₂).

Пример 7.4. Рассмотрим, как с помощью «MathCad» можно провести оптимизацию РАС из примера 6.1 (при S_д = 0,4) по параметру Т₂ с целью получения минимума СКО и Т_р.

На рис. 7.12 представлен график зависимости дисперсии от Т₂, построенный по формуле (6.19) или с использованием формулы (6.25).

Штриховой линией показано исходное значение Т₂ = 4,7 мс.

Из графика видно, что минимальное значение дисперсии D_x достигается при Т₂ = 20 – 25 мс. При этом очевидно, что вкладом математического ожидания m_x в СКО можно пренебречь.

С помощью функций и команд «MathCad» уточняем: минимум D_x (D_x = 0,27) достигается при Т₂ = 22 мс, при Т₂ = 20 мс и при Т₂ = 25 мс D_x = 0,272, а при Т₂ = 30 мс D_x = 0,28.

Проанализируем теперь, как влияет изменение варьируемого параметра Т₂ на время регулирования Т_р. Анализ показывает, что приемлемая форма ПХ получается при Т₂ > 21 мс.

На рис. 7.13 приведены графики ПХ и ИХ, построенные при следующих значениях варьируемого параметра: график 1 построен при начальном значении Т₂ = 4,7 мс, график 2 – при критическом значении Т₂ = 21 мс, а график 3 – при значении Т₂ = 30 мс.

Очевидно, что форма ПХ при Т₂ = 4,7 мс (график 1) неудовлетворительна. Для существенного снижения Т_р необходимо, чтобы на критическом участке ПХ не выходила из интервала установления (0,95 < h (t) <1,05). Это достигается при Т₂ > 21 мс. ПХ на графике 3 имеет лучшие характеристики, чем «критическая» ПХ, представленная на графике 2.

С учетом минимальных значений функции D_x (Т₂) выберем Т₂ = 25 мс. При этом (после уточнения с помощью рассмотренных выше функций и команд «MathCad») получим следующие параметры качества ПХ:

Т_р = 90 мс, Т_max1 = 51 мс, h_max = 1,25 (γ = 25%), Т_зап = 15 мс, Т₀₁ = 5,2 мс, Т₀₉ = 25 мс, d h (Т_зап)/d t (скорость нарастания фронта) = 40 В/с.

На рис. 7.14 представлены графики АЧХ и ФЧХ. График 1 (штриховая линия) соответствует неоптимизированной системе (Т₂ = 4,7 мс). График 2 (сплошная линия) построен при Т₂ = 25 мс.

Из рис. 7.14 видно, что до оптимизации РАС имела существенный резонансный выброс (график 1 – штриховая линия) и, как следствие, сильно колебательный характер ПХ. После оптимизации величина выброса существенно уменьшилась (график 2 – сплошная линия).

После оптимизации РАС запасы устойчивости увеличились и составили: по усилению – А_з2 = 80 дБ, по фазе – j _з2 = 49° (исходные значения: А_з1 = 40 дБ и по фазе j _з1 = 12°).

При необходимости можно было бы включить в оптимизационную задачу и другие параметры РАС (S_д, k₀ , k₂, Т₁, Т₂), что повысило бы эффективность оптимизации, хотя и существенно усложнило бы решение.