Особенности работы нелинейной системы чап

Структурная схема ЧАП с преобразованием частоты приведена на рис. 3.3 и описана в линейном режиме в параграфе 3.2. Построим структурную схему ЧАП (рис. 8.3) с учетом нелинейности характеристики дискриминатора F(Ω) (рис. 3.4).

Рис. 8.3. Структурная схема нелинейной ЧАП

В анализе примем, что нестабильностью частоты ГУН можно пренебречь. Примем, что ; ; W – отклонение частоты на выходе ЧАП (частота ГУН, промежуточная частота) в установившемся режиме от номинального значения (остаточная расстройка).

Составим уравнение работы ЧАП относительно отклонения частоты.

. (8.2)

. (8.3)

Будем считать, что ЧАП работает в режиме стабилизации частоты (сигналом воздействия является частота эталонного генератора w_эт).

. (8.4)

Решим уравнение (8.4) для стационарного режима (t ® ¥ или p ® 0). В этом случае и уравнение сводится к виду (8.5).

. (8.5)

Для наглядности решим уравнение (8.5) графически.

Правая часть (8.5) представляет собой уравнение прямой относительно переменной W.

Решением будут являться точки пересечения (точки 1, 2, 3 на рис. 8.4) этой прямой и графика дискриминационной характеристики F(Ω).

Полученные решения Ω ₁, Ω ₂, Ω ₃ для общего случая (сплошная прямая a на рис. 8.4) необходимо проанализировать на локальную устойчивость.

Есть несколько способов. Воспользуемся простейшим [2]: линеаризацией характеристики в области каждой точки решения ().

. (8.6)

Подстановка (8.6) в (8.4) после замены переменных дает :

. (8.7)

Решение (8.7) и анализ устойчивости [2] приводят к следующим условиям устойчивости решений:

. (8.8)

В точке 1 крутизна характеристики S_д1 > 0 и условие устойчивости (8.8) выполняется. В точке 2 S_д2 < 0 и – условие (8.8) не выполняется, и система неустойчива. В точке 3 S_д3 < 0, но , поэтому условие (8.8) выполняется, и система устойчива.

Система не может находиться в точке 2, она должна перейти в устойчивое состояние – точку 1 или 3.

В зависимости от начальной расстройки Δω _c (возможные изменения показаны стрелочками на рис. 8.4) уравнение (8.5) может иметь одно или два решения.

Двум решениям на рис. 8.4 соответствуют штриховые линии: b и c. Штриховая линия b позволяет определить по точке пересечения с осью абсцисс полосу захвата (при этом точки 1 и 2 сливаются), а штриховая линия c – полосу удержания (при этом сливаются точки 2 и 3)) [24].

Рабочая полоса ЧАП – полоса захвата (точки 1 на рис. 8.4).

Полоса удержания не может быть меньше, чем полоса захвата.

Одному решению, которое получается при нахождении начальной расстройки в полосе захвата, на рис. 8.4 соответствует штрихпунктирная линия d [24].

Зависимость остаточной расстройки Ω от начальной Δω_с называется регулировочной характеристикой и является наиболее информативной характеристикой ЧАП (рис. 8.5) (k_ап = 1 + S_д k_ф k_р).

Система ЧАП является статической РАС с конечной ошибкой (k_ап = 1 + S_д k_ф k_р – коэффициент автоподстройки).

Пусть при включении ЧАП находится в асинхронном режиме, в этом случае начальная расстройка Δω_с находится вне полосы удержания (Δω _с > ω _уд), частота ГУН равна некоторой собственной частоте (частота при разомкнутой петле ОС). При медленном изменении частоты эталонного генератора в сторону уменьшения рассогласования частот, как только расстройка Δω _с окажется в полосе захвата (Δω _с < ω _зх ), ЧАП войдет в режим слежения (синхронизм, рабочий режим) за частотой сигнала (в режиме стабилизации – за частотой эталонного генератора). При этом частота ГУН меняется скачком и ее отличие от ω _э уменьшается в k_ап раз, в результате частота ГУН почти равна частоте эталонного генератора.

Если теперь начать увеличивать расстройку Δω _с, ЧАП будет работать в синхронном режиме до тех пор, пока значение расстройки будет оставаться внутри полосы удержания (Δω _с < ω _уд). Чтобы вывести ЧАП из синхронного режима потребуется увеличить расстройку так, чтобы она оказалась вне полосы удержания (Δω _с > ω _уд).

Если при включении ЧАП начальная расстройка окажется в полосе захвата (Δω _с < ω _зх), то система сразу входит в синхронизм.

Если при включении ЧАП начальная расстройка будет лежать в интервале между полосой захвата и удержания (ω _зх < Δω _с < ω _уд), то достоверно поведение предсказать нельзя, так как система перейдет в одно из рассмотренных ранее устойчивых состояний.

Максимальная корректирующая расстройка Δω _{k max}, вырабатываемая системой ЧАП, соответствует точке (1 = 2) на рис. 8.4 и равна

Δω _{k max} = k_рS_дU_{д max}, (8.9)

где U _{д max} – максимальное напряжение на выходе дискриминатора.

Соотношение между полосой захвата и удержания оценивается следующими формулами:

; ; . (8.10)

Точность системы прямопропорциональна k_ап , поэтому для уменьшения установившейся ошибки k_ап следует увеличивать. Однако при этом, как следует из формул (8.10), уменьшается полоса захвата, а значит, уменьшается рабочий диапазон частот эффективной автоподстройки. Таким образом, в статической ЧАП есть противоречие между точностью и полосой эффективной автоподстройки. Для разрешения данного противоречия используют астатическую ЧАП.

В переходном режиме поведение ошибки будет зависеть в основном от характеристики фильтра. Для данного случая , поэтому , и остаточная расстройка будет изменяться не скачком, а плавно с некоторой задержкой.

На рис. 8.6. приведена ПХ для этого случая.

Время регулирования оценивается формулой .

Применение системы ЧАП в РПрмУ по сравнению с ФАПЧ имеет достоинство: ЧАП не реагирует на «зеркальную помеху».

Нелинейная система ФАПЧ

Структурная схема ФАПЧ приведена на рис. 3.6, а на рис. 3.7 приведена ее схема, сведенная к обобщенному виду. Работа линеаризованной системы ФАПЧ в режиме стабилизации частоты описана в параграфе 3.3.

Проанализируем работу ФАПЧ в режиме стабилизации частоты с учетом нелинейности дискриминационной характеристики. Будем считать, что начальная фаза опорного (эталонного) генератора φ ₀ = 0, возмущение x(t) отсутствует, а нестабильностью частоты эталонного генератора и ГУН можно пренебречь.

Принципиальным отличием статической характеристики ФД является ее периодичность. Для непрерывных (аналоговых) систем ФАПЧ статическая характеристика представляет собой «синусоиду». В импульсных и цифровых системах характеристика ФД имеет другие формы.

ФД выполняет перемножение сигналов эталонного генератора ГУН.

За основу примем уравнения ФАПЧ (3.7) и (3.8).

. (8.11)

Пусть К_г (р) = 1, К_р (р) = k_р ; – нормированная характеристика дискриминатора.

. (8.12)

Рассмотрим сначала работу системы ФАПЧ при отсутствии фильтра (К_ф (р) = 1). В этом случае уравнение (8.12) преобразуется к виду

, (8.13)

где – максимальная корректирующая расстройка, которая в данном случае имеет смысл полосы удержания ω _уд.

Если рассмотреть стационарный режим, то приходим к уравнению статики:

, (8.14)

На рис. 8.7 показано графическое решение уравнения (8.14).

Считаем, что . Штриховая прямая пересекает график F _н (j) в двух точках на периоде.

Анализ полученных решений на устойчивость, приведенный в [2, 24], показывает, что точки пересечения с графиком F _н (j), которые находятся на участках с соответствуют устойчивому состоянию (точки 1 и 3), а точки, находящиеся на участках с отрицательной крутизной дискриминационной характеристики , – неустойчивому состоянию (точки 2 и 4).

Штрихпунктирная прямая на рис. 8.7 (точки 1 и 2, а также 3 и 4 сливаются) соответствует пределам рабочего участка (j = ±0,5p + p n), который определяет полосу захвата ФАПЧ.

Точка 1 находится на участке (j < ±0,5p), который приближенно считается линейным в линеаризованной системе ФАПЧ (п. 3.3).

На рис. 8.8 приведена регулировочная характеристика (зависимость остаточной расстройки от начальной) для ФАПЧ при отсутствии фильтра.

В отличие от ЧАП, регулировочная характеристика ФАПЧ имеет область (полоса удержания 2ω_уд), в которой установившаяся ошибка равна нулю. Таким образом, система ФАПЧ является астатической по частоте, а по фазе имеет некоторый постоянный фазовый сдвиг.

. () (8.15)

При отсутствии фильтра полосы захвата и удержания совпадают.

Если расстройка Δω находится в полосе удержания, то ФАПЧ находится в режиме синхронизма, в котором частота ГУН устанавливается равной частоте эталонного генератора (ω _г = ω _э) с точностью до фазы.

Если увеличивать начальную расстройку Δω так, чтобы она вышла из полосы удержания, то ФАПЧ перейдет в режим биений.

В режиме биений напряжение на выходе дискриминатора не постоянно, а периодически изменяется; фаза сигнала неограниченно нарастает, частота ГУН периодически колеблется вокруг частоты сигнала.

Положительные и отрицательные полуволны периода имеют разную длительность, поэтому кроме переменной составляющей на выходе ФД появляется и постоянная составляющая.

Для возвращения ФАПЧ в рабочий режим необходимо уменьшить расстройку Δω так, чтобы она вернулась в полосу удержания. По мере уменьшения Δω будет увеличиваться доля постоянной составляющей на выходе ФД и уменьшаться частота биений.

При вхождении ФАПЧ в синхронизм ФД будет иметь только постоянную составляющую, величина и полярность которой будут зависеть от величины и знака начальной расстройки.

Проанализируем теперь работу ФАПЧ с ФНЧ первого порядка (например, интегрирующая RC -цепь из прил. 2).

, (8.16)

где .

Получилось уравнение второго порядка, которое удобно свести к стандартному виду:

, (8.17)

где , .

Уравнение ФАПЧ (8.12) в данном случае запишется в виде.

. (8.18)

После преобразований получим:

,

. (8.19)

На рис. 8.9 приведена типичная регулировочная характеристика для данного случая.

При малой постоянной времени фильтра Т_ф (это эквивалентно его широкой полосе пропускания) полоса захвата ω _зх имеет почти тот же размер, что и полоса удержания ω _уд.

С увеличением постоянной времени Т_ф улучшаются фильтрирующие свойства системы по отношению к сигналу, но в то же время уменьшается полоса захвата системы.

Уменьшение полосы захвата можно объяснить так. При существенной начальной расстройке на выходе ФД существуют колебания с частотой начальной расстройки, которые ослабляются ФНЧ. В результате максимально возможное напряжение на входе ГУН получается меньше, чем в рассмотренном выше случае, в котором ФНЧ отсутствовал [24].

При значительных постоянных времени ФНЧ () отношение полос захвата и удержания оценивается формулой [24].

, . (8.20)

Кроме того, при выборе Т_ф следует учитывать характер (z) и время регулирования переходного процесса РАС.

Для уменьшения данного противоречия необходимо скорректировать характеристики фильтра. Наиболее простое решение – применение пропорционально-интегрирующего фильтра (ПИФ).

На рис. 8.10 представлены возможные схемы ПИФ.

ПФ ПИФ определяется формулой

, (8.21)

где Т_ф = (R₁ + R₂) C₁, a = R₁ /(R₁ + R₂)для схемы а),

а для схемы б) Т_ф = R₁ (C₁ + C ₂), a = C₁ (C₁ + C ₂).

На рис. 8.11 представлена регулировочная характеристика для системы ФАПЧ с ПИФ.

Штриховыми стрелочками на рис. 8.11 для сравнения показана полоса захвата при использовании интегрирующего RC -фильтра, рассмотренного выше.

Введение ПИФ обеспечивает увеличение запаса РАС по фазе.

 

Рассмотрим работу нелинейной ФАПЧ при различных величинах начальной расстройки Δω.

Пусть при включении начальная расстройка Δω находится в полосе захвата, в этом случае ФАПЧ находится в синхронном режиме, в котором частота ГУН устанавливается равной частоте эталонного генератора с точностью до фазы.

Если увеличивать начальную расстройку Δω так, чтобы она вышла из полосы удержания, то ФАПЧ прекратит нормальную работу и перейдет в режим биений [24].

Для возвращения ФАПЧ в рабочий режим необходимо уменьшить расстройку Δω так, чтобы она вернулась в полосу захвата. По мере уменьшения Δω будет увеличиваться доля постоянной составляющей на выходе ФД и уменьшаться частота биений.

Если при включении ФАПЧ в синхронизм ФД расстройка Δω будет находиться вне полосы захвата, но в полосе удержания (ω _зх < Δω < ω _уд ), то достоверно поведение ФАПЧ предсказать нельзя: она может перейти как в синхронный, так и в асинхронный режимы.

 

Так как системы ЧАП и ФАПЧ имеют свои достоинства и недостатки, представляет интерес применение комбинированных РАС, в которых за счет объединения работы ФАПЧ и ЧАП удается получить существенное улучшение качества работы [24].