Нелинейные волновые взаимодействия

§18. ГЕНЕРАЦИЯ ОПТИЧЕСКИХ ГАРМОНИК

 

В настоящее время широкое применение в технике и в научных исследованиях нашли процессы генерации оптических гармоник, преобразование частоты вверх и параметрическая генерация света. В этом параграфе изложена генерация второй гармоники для одномерного случая. Детальное освещение данного вопроса можно найти в монографии [14].

Итак, пусть взаимодействующие монохроматические волны движутся в одном направлении так, что для каждой волны электрическое поле есть функция одной координаты: . Положим, что все волны имеют одинаковую поляризацию, причем поле перпендикулярно направлению распространения. Это условие легко выполняется в изотропных средах и кубических кристаллах, однако оно не столь существенно и принято лишь с целью упрощения формул. В одномерном случае уравнение для поля запишется в виде

 

, (18.1)

 

где “штрих” – производная по z; “ точка ” – производная по времени.

Общее выражение для монохроматических взаимодействующих полей представляется суммой

 

(18.2)

 

Для слаболинейных сред можно предполагать медленное изменение амплитуды на длине волны . Если анализ ограничить лишь тремя волнами, для которых , то из (18.1) и (18.2) можно получить укороченную систему уравнений

 

 

;

;

. (18.3)

 

Здесь , причем (18.3) справедливо и для поглощающей среды. Для плоской волны , а вектор Пойнтинга

 

(18.4)

 

Из (18.3) и (18.4) для прозрачной среды, где , выводятся соотношения:

 

;

;

.

 

Эти соотношения в теории параметрического усиления (первые интегралы системы (18.3)), которые на языке квантовой физики означают, что изменение интенсивности трехволнового взаимодействия происходит за счет преобразования одного кванта в два и . Из общей системы (18.3) также следует, что , то есть это соответствует закону сохранения энергии взаимодействующих полей.

Аналогичная укороченная система уравнений выводится для процесса генерации второй гармоники

 

; (18.6)

, (18.7)

 

где ; ; .

 

Перейдем к приближению заданного поля. В ряде случаев преобразование во вторую гармонику невелико: . Тогда можно считать поле основной волны заданным, равным входному . Однако не обязательно считать функцию медленно меняющейся. Если оставить и вторые производные, то (18.6) можно заменить уравнением

, (18.8)

 

которое имеет решение в виде двух слагаемых – свободная волна (решение однородного уравнения) и вынужденная.

Таким образом, электрическое поле для второй гармоники примет вид

 

, (18.9)

где

(18.10)

 

Отсюда видно, что амплитуда вынужденной волны (18.10) имеет сложную резонансную зависимость (см. гл. III). На длине происходит рассогласование фаз свободной и вынужденной волны. Эту длину называют когерентной. Для нулевых граничных условий с ( при ) получим .

В этом случае интенсивность второй гармоники

 

, (18.11)

 

где , . В прозрачной среде , таким образом, приходим к широко известному в нелинейной оптике результату:

 

. (18.12)

 

Видно, что при преобразование достигает максимума и равно . Если , то можно исходить непосредственно их укороченного уравнения (18.6) или из (18.12) с учетом (18.9). Тогда получим

 

, (18.13)

 

где . Обычно для определения мощности второй гармоники используют формулу, которую в приближении заданного поля основного излучения записывают с учетом (18.4) в следующем виде

 

, (18.14)

 

где – длина волны основного излучения; , - длина образца, и - показатели преломления волн частоты и , .

 

§19. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СИНХРОНИЗМ

 

Укороченная система уравнений (18.6) и (18.7) имеет точное решение [7]. Из (18.14) видно, что условие

 

(19.1)

 

представляет собой особый случай, когда приближение заданного поля будет несправедливо. Это условие означает, что взаимодействующие волны полностью согласованы по фазе, то есть осуществляется пространственный синхронизм, или фазовое согласование. Синхронные согласованные взаимодействия приводят к значительным преобразованиям. Действительно, при условии (19.1) для прозрачной среды укороченная система уравнений принимает вид

 

;

, (19.2)

 

где , причем ; ; ; .

 

Введем новые обозначения

 

, . (19.3)

 

Подставляя (19.3) в (19.2), получим уравнения для амплитуд

 

;

(19.4)

и для разности фаз :

 

. (19.5)

Из последнего уравнения видно, что есть его решение (причем при эта разность фаз устойчива). Тогда система (14.4) имеет первый интеграл

 

. (19.6)

Подставляя (19.6) во второе уравнение системы (19.4) и интегрируя последнее, приходим к известному результату

 

. (19.7)

 

С учетом (19.6) получим

 

. (19.8)

 

Таким образом, в условиях пространственного синхронизма происходит полное преобразование основного когерентного излучения во вторую гармонику.

 

§20. РЕЗОНАНСНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ТРЕТЬЕЙ ГАРМОНИКИ

 

Подобная ситуация создается в случае генерации третьей гармоники. В приближении заданного поля уравнение для третьей гармоники, аналогичное (18.8), представлено в виде

 

, (20.1)

 

где , и которое имеет решение в виде двух слагаемых:

 

, (20.2)

где

. (20.3)

 

Отметим, что резонансы или не дают существенного выигрыша в преобразовании основной волны в третью гармонику. Однако в отличие от генерации второй гармоники резонанс приводит к резкому увеличению , как это видно из формулы (17.16). Эта особенность влечет за собой своеобразный эффект просветления: двухфотонное поглощение компенсируется преобразованием третьей гармоники в основную волну. Детально эти вопросы изложены в работе [17]. В последние годы эффект генерации третьей гармоники при двухфотонном резонансе нашел применение в создании источников когерентного излучения в ультрафиолетовом диапазоне [15].

 

§21. МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ФАЗОВОГО СОГЛАСОВАНИЯ

 

Условие пространственного синхронизма можно создать несколькими способами. При генерации второй гармоники используют двоякопреломляющие одноосные кристаллы. Одноосный кристалл может быть двух типов: положительный (показатель преломления обыкновенной волны меньше, чем необыкновенной) и отрицательный (показатель преломления обыкновенной волны больше, чем необыкновенной).

Для отрицательного кристалла основная волна, поляризованная как обыкновенный луч (то есть плоскость поляризации волны перпендикулярна оси кристалла), синхронизируется со второй гармоникой () необыкновенной волны (плоскость поляризации лежит в главном сечении, то есть в плоскости, образованной волновым вектором и осью кристалла) путем изменения угла между волновым вектором основной волны и осью кристалла.

Для положительного кристалла ситуация прямо противоположная: условие пространственной синхронизации выполняется для основной необыкновенной волны и обыкновенной волны второй гармоники. Фазовая синхронизация достигается также путем взаимодействия двух основных волн – обыкновенной и необыкновенной – с одной обыкновенной волной второй гармоники (положительный кристалл) или с одной необыкновенной волной (отрицательный кристалл).

Возможны и другие методы создания синхронных взаимодействий. Наиболее выгодным оказывается случай, когда условие выполняется в направлении, перпендикулярном к оси кристалла (поверхности волновых векторов обыкновенной и необыкновенной волны в этом случае касаются). Это расширяет интервал углов для фазового согласования [14].

При генерации третьей гармоники синхронизация осуществляется иным путем. Необходимо выполнить условие: или . В парах металлов это достигается путем добавлении буферного газа. Выбирая подходящий буферный газ и используя его плотность в качестве регулируемой переменной, можно выполнить пространственный синхронизм в следующей форме:

 

.

(21.1)

На этом пути удалось продвинуться в область вакуумного ультрафиолета (), и появилась надежда создать источники когерентного излучения в мягком рентгеновском диапазоне ().

 

22. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

 

Генерация оптических гармоник есть частный случай эффекта смешения частот. В приближении заданного поля легко получить амплитуду поля на суммарной частоте. Для этого предположим, что две волны на частотах и фиксированы по амплитуде, тогда из уравнений Максвелла методом, рассмотренным в §18, для третьей волны частоты получим

 

, (22.1)

где

. (22.2)

 

Сравнивая (22.1) с (18.8), убедимся, что решение (22.1) будет иметь вид, аналогичный (18.9)

, (22.3)

где амплитуда вынужденной волны

(22.4)

что полностью определяет электродинамику малых преобразований эффектов смешивания частот.

Эффективность преобразования резко возрастает при условии фазового согласования: . В этом случае необходимо исходить из анализа укороченной системы уравнений (18.3).

Рассмотрим процесс параметрического преобразования частоты вверх, несколько отличающийся от эффекта смешения. Пусть частота генерируется путем сложения двух частот и . Однако предположим, что мощность излучения на частоте значительно превосходит мощность на частоте , а первоначальное излучение на частоте отсутствует. Тогда в системе (18.3) уравнение для сводится к тривиальному: , а два других (дополнительно дифференцируя каждое и подставляя одно в другое) примут вид

(22.5)

где

. (22.6)

 

Для принятых граничных условий решение уравнений (22.5) выглядит таким образом:

; (22.7)

.

Откуда видно, что волна с частотой полностью переходит в волну с частотой на характерной длине .

Далее обратимся к параметрическому усилению и генерации. Из соотношений Мэнли-Роу (18.5) следует, что фотон наибольшей частоты распадается на два фотона меньшей частоты. Таким образом, слабый сигнал на меньшей частоте может быть усилен за счет энергии волны высокой частоты – волны накачки. Возникающая волна разностной частоты – холостая волна – также будет усиливаться. Если организована обратная связь, например, сигнал повторно пропускается через кристалл в нужной фазе (резонатор), то усилитель превращается в генератор, причем самовозбуждение генератора может произойти с затравкой из шумов, когда усиление за один проход превысит соответствующие потери.

Из системы (18.3) следует, что для заданной амплитуды волны накачки поле сигнала и холостой волны определяется из уравнений

 

(22.8)

 

где . Дифференцируя еще раз каждое из уравнений и подставляя одно в другое, приходим к системе независимых уравнений второго порядка

 

;

, (22.9)

 

где

. (22.10)

 

Общее решение (22.9) при имеет вид

 

, (22.11)

и аналогичное выражение для получаем из (22.11) перестановкой индексов. При имеем , то есть экспоненциальный рост мощности. Для параметрического усиления при взятых выше граничных условиях существуют выражения для сигнала

 

. (22.12)

 

и для холостой волны

 

. (22.13)

В предельном случае (), который описывает ситуацию для параметрического генератора, получим

 

 

(22.14)

 

Отклонение от условий фазового синхронизма () приводит к уменьшению эффективности параметрического усиления. Характеристическое уравнение для каждого из (22.9) имеет вид

 

, (22.15)

откуда следует, что существует порог для усиления

. (22.16)

 

Если учесть потери, то в случае их равенства и при порог параметрического усиления запишется как

, (22.17)

Где – коэффициент поглощения [7].

 

§23. ВЫНУЖДЕННОЕ РАССЕЯНИЕ МАНДЕЛЬШТАМА-БРИЛЛЮЭНА (ВРМБ)

 

 

Примером нелинейного взаимодействия волн - электромагнитной и звуковой – является эффект ВРМБ. Известно, что при малых интенсивностях света происходит процесс рассеяния на флуктуациях плотности среды. Элементарный акт рассеяния электромагнитной волны на акустических колебаниях состоит из поглощения фотона, падающего на среду, и из одновременного испуская фотона рассеянного излучения и акустического фонона (стоксово рассеяние). Из законов сохранения энергии и импульса

(23.1)

,

где ; ; - векторы и частоты фотонов и фонона, следует, что смещение частоты составит величину:

 

, (23.2)

 

где - показатель преломления среды; и - фазовые скорости звука в среде и света в вакууме; - угол между векторами и (угол рассеяния).

Аналогичный сдвиг происходит при поглощении падающего фотона и акустического фонона и последующего рождения рассеянного фотона (антистоксово рассеяние). Таким образом, относительно несмещенной частоты рассеянного излучения (рэлеевское рассеяние) возникают две компоненты – дублет Мандельштама-Бриллюэна, а сам эффект носит название – спонтанное Мандельштама-Бриллюэна рассеяние. Заметим, что если аналогичное рассеяние излучения происходит с поглощением или испусканием оптического фонона, то эффект носит название – спонтанное комбинационное (рамановское) рассеяние.

При спонтанном рассеянии флуктуации плотности в среде не зависят от проходящей через нее световой волны, что характерно для достаточно малых интенсивностей.

Однако положение резко меняется при мощном когерентном излучении. Интерференция мощных световых волн – падающей и рассеянной – вызывает заметный эффект электрострикции, который приводит к усилению звуковых волн, а последние, в свою очередь, влияют на рассеяние излучения. Весь процесс становится нелинейным, а эффект называют – вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ)

Кратко изложим основные результаты использования теории ВРМБ в жидкости. Движение вязкой жидкости описывается уравнением Навье-Стокса:

 

, (23.3)

 

где и – плотность и скорость жидкости; - давление; и - сдвиговый и объемный коэффициенты вязкости; - внешняя сила, действующая на единицу объема жидкости (в переменном электрическом поле) [2]:

 

(23.4)

 

Индекс “0” означает равновесное состояние. Эта сила вызывает изменение плотности среды, с учетом которого волновое уравнение для электромагнитного поля записывается в форме

 

, (23.5)

 

где есть отклонение от равновесной плотности. Полагая, что , можно провести линеаризацию уравнения (23.3). Учитывая также уравнение непрерывности и связь между давлением и плотностью (, - скорость звука), получим

 

(23.6)

 

где ; . Чтобы учесть поглощение световой волны, введем в уравнение (23.5) дополнительное слагаемое с проводимостью, и представим уравнение в виде

 

. (23.7)

Уравнения (23.6) и (23.7) образуют замкнутую систему для электрического поля и давления при акустических колебаниях среды с учетом поглощения.

Будем искать решение для падающей и рассеянной световых волн в виде

 

(23.8)

 

а звуковую волну запишем так

 

(23.9)

 

Предположим, что падающая волна фиксирована по фазе и амплитуде, а для стоксовой и звуковой волн считаем и постоянными. Тогда после подстановки (23.8) и (23.9) в (23.6) и (23.7) получим систему однородных алгебраических уравнений для нахождения и , условие разрешимости которой приводит к дисперсионному уравнению

 

, (23.10)

 

где введены обозначения

 

; , (23.11)

 

здесь - показатель преломления среды. Если , то получаем известные законы дисперсии для акустических колебаний и электромагнитных волн:

 

, ;

, . (23.12)

В общем случае при уравнение (23.10) представляет собой определение новых возбуждений в среде, которые невозможно разделить лишь на звуковую и электромагнитную ветви.

Вышеприведенный анализ показывает, что рассматриваемая задача взаимодействия световой и звуковой волн в некотором смысле аналогична задаче параметрического усиления. Поэтому должен существовать порог генерации стоксовой и звуковой волн.

Последующий анализ можно выполнить по той же методике, что изложена в § 21. Из дидактических соображений приведем этот анализ через укороченную систему уравнений. Покажем это на примере рассеяния назад, когда угол . За положительное направление возьмем направление стоксовой компоненты и будем искать решение уравнений (23.6) и (23.7) в виде

(23.13)

Допустим, что звуковая волна и волна накачки движутся в отрицательном направлении, тогда связь волновых векторов и частот можно представить в виде

(23.14)

Амплитуды , и представляют собой функции координаты и времени . Рассмотрим случай, когда они мало меняются на расстояниях порядка длин волн (звука и света) и за времена порядка периодов колебаний в волнах. Подставим в (23.13) в уравнения (23.6) и (23.7) и сохраним лишь первые производные по переменным. Получим систему уравнений

(23.15)

где введены коэффициенты поглощения.

Пусть . Решение системы уравнений ищем в виде

(23.16)

подставляя (23.16) в (23.15), получим систему алгебраических уравнений для нахождения и , условие разрешимости которой дает следующее дисперсионное уравнение:

 

, (23.17)

где . Обычно коэффициент поглощения звука относительно превосходит коэффициент поглощения света. В стационарном режиме () при условии, что , уравнение (23.17) легко решается и дает два корня

 

,

, (23.18)

причем считаем также, что поле слабое (). Из (23.18) следует, что поглощение стоксовой компоненты ослабляется, и при условии

(23.19)

возникает усиление, тогда как звуковая волна по-прежнему сильно поглощается.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ