Распространение электромагнитной волны в нелинейной среде

§ 8. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНОМ ОТКЛИКЕ СРЕДЫ

 

Распространение электромагнитных волн в веществе сопровождается наведением в последней зарядов и токов, которые в сравнительно небольших полях прямо пропорциональны величине внешнего воздействия. Электродинамика волнового движения в этом случае линейная и полностью определяется диэлектрической проницаемостью вещества. Волны не взаимодействуют друг с другом, они независимы, то есть справедлив принцип суперпозиции.

Однако по мере увеличения интенсивности наведенные заряды и токи уже не являются линейными функциями внешних полей, а начинают сложным образом зависеть не только от электромагнитного поля, но и от других волновых процессов в веществе (от звуковых колебаний, спиновых волн и т.п.). Вследствие этого распространение электромагнитной волны приобретает нелинейный характер и нарушает принцип суперпозиции.

Процессы, лежащие в основе нелинейности, весьма разнообразны и зависят как от параметров внешних полей, так и от состава и фазового состояния вещества.

Одним из наиболее важных процессов является процесс нагрева вещества в электрическом поле волны. В твердых телах поглощение электромагнитной энергии происходит путем одноквантового или многоквантового процесса возбуждения электронов или фононов. Поглощенная энергия в конечном счете переходит в акустические и оптические колебания твердого тела, и, как следствие, происходит разогрев среды, ее тепловое расширение, что приводит к изменению диэлектрической проницаемости вещества. Этот процесс нелинейности называют тепловым или нагревным.

Особенно легко этот тип нелинейности осуществляется в плазме при малых электрических полях. Действительно, когда длина свободного пробега электронов сравнительно большая, так что электрон за время одного пробега может получить заметную долю энергии, а передача энергии от электронов к ионам, атомам и молекулам затруднена из-за большой разницы в массах, то электроны сильно разогреваются уже в малом по величине поле. Такой же тип нелинейности может быть на горячих электронах в полупроводниках и диэлектриках, в плазме твердого тела.

С ростом амплитуды электрического поля электроны набирают энергию, достаточную для ударной ионизации. Это приводит к лавинному нарастанию плотности электронов, и, по-существу, возни­кает новый тип нелинейности, связанный с фазовым переходом ди­электрик-металл в веществе.

Другой очень распространенный тип нелинейности связан с воз­действием электрических (пондеромоторных) сил в среде в произ­вольном неоднородном электромагнитном поле. Эти силы оказывают давление на вещество, производят его сжатие или разрежение, из­меняют его плотность и, как следствие, диэлектрическую проницае­мость. Такой механизм нелинейности называют стрикционным. Этот тип нелинейности становится важным для относительно коротких импульсов излучения, например, меньших времени свободного про­бега электрона, то есть когда нагревныи механизм дает малый вклад. Стрикционный механизм нелинейности играет важную роль при параметрической неустойчивости вещества, приводит к усиле­нию звуковых волн, к процессам вынужденного рассеяния на акусти­ческих колебаниях среды, к возбуждению собственных колебаний плазмы и другим эффектам.

Наблюдаются и другие процессы нелинейности. Например, ориентационный механизм, характерный для жидкостей, состоящих из ани­зотропных молекул. Молекулярная поляризуемость таких молекул анизотропна. Это заставляет такие молекулы ориентироваться во внешнем линейно поляризованном электромагнитном поле таким об­разом, чтобы ось наибольшей поляризуемости молекулы совпадала с направлением поляризации внешнего поля.

В плазме возможен магнитный тип нелинейности, когда под действием электрического поля волны электрон приобретает пере­менную скорость, а магнитное поле изменяет это движение элек­трона посредством силы Лоренца. Для очень коротких световых им­пульсов основными механизмами нелинейности становятся такие малоинерционные процессы, как эффект электронной поляризуемости или эффект молекулярной либрации (качание молекул в поле свето­вой волны).

Наконец, особое значение имеют резонансные механизмы нели­нейности, когда частота волны (или ее гармоники и субгармоники) достаточно близка к собственным частотам колебаний вещества (к частотам атомных переходов в атомах или молекулах, к ширине за­прещенной зоны в полупроводниках и диэлектриках, к частоте плаз­менных колебаний и т.д.). В резонансных условиях нелинейности резко возрастают, и соответствующие нелинейные эффекты развива­ются при меньших полях, чем в нерезонансном случае.

Все перечисленные механизмы нелинейности приводят к возму­щению комплексной диэлектрической проницаемости вещества. Для изотропной среды и в относительно слабых внешних электрических полях такая зависимость может быть записана в виде

(8.1)

где - амплитуда внешнего поля электромагнитной волны. Таким образом, в веществе показатель преломления и коэффициент погло­щения становятся квадратичными функциями амплитуды поля, что при­водит к целому ряду нелинейных оптических эффектов.

Рассмотрим качественно основные явления, которые могут воз­никнуть вследствие того или иного процесса нелинейности при рас­пространении в среде мощной электромагнитной волны.

Прежде всего меняется характер поглощения электромагнитных волн, который существенно зависит от знака мнимой части нели­нейного коэффициента в формуле для диэлектрической прони­цаемости. (8.1). При величина поглощения возрастает с увеличением мощности поля. В целом это приводит к тому, что сильная волна, проникающая в такую нелинейную среду, не может превзойти определенного предела. Поле внутри среды перестает зависеть от величины падающей извне мощности излучения, и про­исходит как бы насыщение поля в глубине среды.

Такой процесс поглощения имеет место при прохождении силь­ной световой волны через диэлектрик или собственный полупровод­ник в случае, когда возможны прямые переходы из валентной зоны в зону проводимости в результате поглощения одного или несколь­ких фотонов. В зоне проводимости быстро возрастает плотность электронов (а в валентной зоне - плотность дырок), на которых возникает дополнительный процесс поглощения.

В противоположном случае (при ) поглощение уменьша­ется с ростом мощности поля, и в предельном случае сильная вол­на проходит через среду без поглощения, возникает просветление среды. Этот процесс часто протекает в условиях резонансного по­глощения, когда происходит насыщение населенностей на резонансных уровнях. Оба рассмотренных механизма нелинейного поглощения могут осуществляться в одном и том же веществе при различных его состояниях. Например, в плазме разогрев электронов в поле мощной электромагнитной волны приводит к изменению частоты столкновений электронов с ионами, нейтральными атомами и молекулами. Если основную роль играют столкновения с нейтральными частицами, то с ростом температуры частота соударений возрастает и, следо­вательно, увеличивается поглощение. Если главными становятся столкновения электронов с ионами, то частота соударений падает с ростом температуры, и степень поглощения уменьшается. Таким образом, при переходе от слабоионизированной плазмы к сильноионизированной характер нелинейного поглощения меняется на про­тивоположный.

В сильных полях изменяется не только коэффициент поглощения, но и показатель преломления - действительная часть диэлектри­ческой проницаемости. В результате возникает ряд новых нелиней­ных эффектов, в частности, искажается траектория луча. Если знак нелинейного коэффициента положителен, то луч отклоня­ется в сторону наибольшей интенсивности поля. В этом случав пу­чок лучей будет фокусироваться, а само явленно называют самофо­кусировкой. Если знак нелинейного коэффициента отрицателен, то возникает явление дефокусировки.

Дляочень узких пучков существенной становится дифракцион­ная расходимость, которая начинает конкурировать с самофокуси­ровкой. В результате может произойти самозахват электромагнитных волн в узкие волноводы - каналы, то есть произойдет явление самоканализации волны. Импульс света, распространяющийся в не­линейной среде, сильно искажает свою форму, происходит самосжа­тие и самоукручение импульса. Аналогичные процессы характерны не только для изменения амплитуды поля, но и его частоты. Это явление получило название фазовой самомодуляциии.

Мощные световые поля способны вызвать значительные измене­ния в состоянии вещества, исказить его структуру, что в еще большей степени усиливает нелинейные эффекты. Распространение плоской волны становится неустойчивым: она может распадаться и расслаиваться на отдельные пучки и импульсы.

 

§ 9. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

 

В нелинейном изотропном диэлектрике без поглощения плоская световая волна имеет постоянное направление распространения и амплитуду в каждой точке пространства и описывается известным выражением

 

(9.1)

 

 

Волновой вектор и частота связаны между собой дисперсионным уравнением

 

, (9.2)

 

где диэлектрическая проницаемость зависит от амплитуды .

Произвольные световые волны этими свойствами не обладают. Однако некоторые волны на каждом небольшом участке пространства и в малом интервале времени можно рассматривать как плоские и монохроматические. Если электрическое поле в такой световой волне записать в виде

 

(9.3)

 

то, очевидно, необходимо соблюсти условие, при котором амплитуда и фаза как функции координат и времени почти не изменялись бы на расстояниях порядка длины волны и в интервалах времени порядка периода колебаний света. Изучение законов распространения света в таких условиях составляет предмет нелинейной геометрической оптики.

На малых участках пространства и в малых интервалах времени фаза - почти линейная функция координат и времени. Разложив в ряд с точностью до членов первого порядка малости, получим

 

.

 

Введем определение волнового вектора и частоты плоской волны в точке и момент по формулам

 

; (9.4)

. (9.5)

 

в соответствии с фазой плоской монохроматической волны (9.1).

В световой волне дисперсионное уравнение (9.2) можно рассматривать как функцию частоты от волнового вектора и амплитуды поля

 

. (9.6)

 

Если подставить в (9.6) выражения (9.4) и (9.5), то получим основное уравнение нелинейной геометрической оптики, конкретный вид которого определяется диэлектрической проницаемостью. Например, в среде без пространственной и частотной дисперсии уравнение для фазы , которую называют эйконалом, имеет вид

 

, (9.7)

 

где фазовая скорость зависит от квадрата амплитуды поля и, следовательно, есть функция координат и времени. Для сред, в которых важную роль начинают играть эффекты запаздывания (частотная дисперсия) или явления пространственной дисперсии, уравнение (9.7) значительно усложняется.

Между геометрической оптикой и механикой материальной частицы существует известная аналогия. Умножим уравнения (9.4) и (9.5) на постоянную Планка и перепишем их в иной форме, введя обозначения , , :

 

; .

 

Первое из них есть определение импульса частицы через функцию действия , а второе уравнение Гамильтона-Якоби. Для нахождения траектории частицы часто используются также уравнения Гамильтона

 

; ,

 

эквивалентные уравнению Гамильтона-Якоби. Следовательно, для лучей световых волн можно написать аналогичные уравнения

 

; (9.8)

. (9.9)

 

В линейной оптике в однородной изотропной среде лучи распространяются по прямым линиям, при этом частота остается постоянной вдоль траектории луча. В нелинейной оптике это уже не наблюдается, поскольку частота зависит от амплитуды внешнего поля согласно (9.6), и, следовательно, искривление лучей в пространстве обусловлено распределением интенсивности света.

Существенно то, что в нелинейной оптике на фазу волны влияет амплитуда поля. В прозрачной среде для описания изменения амплитуды в пространстве и во времени можно использовать закон сохранения световой энергии

 

. (9.10)

 

Это уравнение непрерывности для плотности электромагнитной энергии. Таким образом, уравнение для эйконала (9.7) и уравнение (9.10) совместно определяют ход лучей в нелинейной оптике.

Теперь рассмотрим распространение в пространстве импульса света в виде волнового пакета, близкого к плоской монохроматической волне с волновым вектором и частотой . При малых отклонения от плоской волны произвольную зависимость частоты от волнового вектора в выражении (9.6) представим в виде ряда

 

, (9.11)

 

где - групповая скорость. Переопределим фазу следующим образом:

 

, (9.12)

 

где . Для новой фазы уравнения (9.5) и (9.6) принимают вид

 

; (9.13)

. (9.14)

 

Представим в последнем уравнении частоту как ряд (9.11) по степеням , вместо которых подставим уравнение (9.13). В результате получим уравнение для фазы, которое в данном случае эквивалентно уравнению для эйконала

 

. (9.15)

 

Применим изложенную выше методику к исследованию волновых пакетов, фаза и амплитуда которых зависит от координаты (одномерный случай). При этом уравнение (9.15) будет иметь вид

 

, (9.16)

 

в котором оставлены первые три члена ряда (9.11) и введено обозначение для групповой скорости . Уравнение (9.10) в этом приближении запишем следующим образом:

 

. (9.17)

 

При выводе этого уравнения использовано представление скорости

 

, (9.18)

 

где , и произведена замена на .

Далее перейдем к рассмотрению новых переменных

 

;

 

и новых обозначений

 

;

 

В результате вместо (9.16) и (9.17) получим уравнения

 

; (9.19)

, (9.20)

 

где .

Система уравнений (9.19, 9.20) аналогична уравнениям одномерной гидрогазодинамики [3].Уравнение (9.19) эквивалентно уравнению Эйлера, где - скорость газа. Уравнение (9.20) есть уравнение непрерывности для плотности газа . Последний член уравнения (9.19) можно сопоставить с силой давления в гидродинамике

 

.

 

В адиабатическом процессе , где – скорость звука; - равновесная плотность газа. В нелинейной геометрической оптике

 

 

Таким образом, уравнения (9.19) и (9.20) соответствуют уравнениям гидродинамики с . Как и в гидродинамике, в нелинейной оптике имеют место аналогичные явления укручения огибающей волнового пакета и формирования ударной волны.

 

§ 10. НЕЛИНЕЙНОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

.

Распространение плоских волн и волновых пакетов, близких к плоских волнам, можно описывать параболическим уравнением, вывод которого дается в этом параграфе. Сначала рассмотрим вывод, характеризующей однородную линейную диспергирующую среду, затем обобщим результаты на случай рассмотрения неоднородной среды и далее нелинейной среды в нелинейной оптике.

Предположим, что электромагнитное поле распространяется в изотропном немагнитном диэлектрике. Электрическое поле волны удовлетворяет уравнению Максвелла(6.6).Для определения фурье-компоненты электрического поля и индукции удобно ввести следующие выражения:

 

(10.1)

 

В изотропной диспергирующнй линейной среде связь между фулье-компонентами поля и индукции представлена в виде

 

, (10.2)

 

где постоянная обозначает диэлектрическую проницаемость, зависящую от волнового вектора и частоты. Из уравнения Максвелла (6.6) и из выражений (10.1) с учетом уравнения легко получаем

 

. (10.3)

 

Поскольку , то из (10.3) следует хорошо известное дисперсионное уравнение

 

,

 

которое определяет функцию , причем для изотропной среды частота зависит от величины волнового вектора, а не от его направления: . Фиксированному значению соответствует определенная некоторой плоской волны.

Предположим, что фурье-компонента отлична от нуля в окрестности точки , то есть волновой пакет, близкий к плоской волне с заданными параметрами. Введем обозначение

 

 

и перепишем (10.3) в виде

 

, (10.4)

 

откуда следует, что

 

. (10.5)

 

Функцию представим как ряд

 

, (10.6)

 

где – значение функции в , а индекс ноль у производных означает, что они берутся в той же точке.

Рассмотрим значение , близкое к . Введем обозначение

 

 

тогда

 

, (10.7)

 

где - проекция вектора на направление вектора , а - проекция на нормальное к вектору направление. Производные в (10.6) представляют собой групповую скорость пакета, именно

 

 

и ее производную

 

.

 

Подставим (10.7) в (10.6) и ограничимся членами второго порядка малости. Тогда уравнение (10.5) примет вид

 

.

 

Далее выполним обратное фурье-преобразование

 

(10.8)

 

И в результате придем к линейному параболическому уравнению:

 

. (10.9)

 

Здесь представляет собой медленно меняющуюся амплитуду плоской монохроматической волны с частотой и волновым вектором (в соответствии с преобразованием (10.8); ; ось направлена вдоль вектора .

Обобщим полученное уравнение для неоднородной среды. Часто неоднородную среду можно описать электрической проницаемостью, зависящей от координаты и времени . Необходимо лишь соблюсти требование: изменение параметров среды – ее плотности, температуры, населенности уровней и т.д. – должно происходить медленно, за период колебания волны или на расстояниях порядка длины волны, то есть эффекты временной и пространственной дисперсии должны быть несущественными. Для волновых пакетов, близких к плоским волнам, дисперсией всегда можно пренебречь, за исключением некоторых резонансных ситуаций (когда спектральная ширина “пакета” сравнивается с шириной резонансного уровня в среде). Поэтому диэлектрическую проницаемость неоднородной среды запишем как

 

,

где - некоторое среднее значение диэлектрической постоянной. Тогда вместо (10.5) будем иметь

 

, (10.10)

 

где первое слагаемое описывает поле в однородной среде с диэлектрической постоянной , а второе учитывает отклонение от однородности в среде. Уравнение (9.10) справедливо в случае . Обратное Фурье-преобразование приводит нас к уравнению

 

. (10.11)

 

Как видно из (10.8), получение параболический уравнений (10.9) и (10.11) с помощью фурье-преобразований сводится к заменам

 

, , .

 

Предположим, что световая волна линейно поляризована, тогда из (10.11) видно, что поляризация сохраняется при движении волны в среде. Поэтому выберем ось вдоль поляризации и будем рассматривать лишь величины поля. Далее в уравнении (10.10) перейдем к новой переменной

 

.

 

В этом случае (10.10) преобразуется в уравнение

 

, (10.12)

 

в которое введены обозначения

 

; ; ; . (10.13)

 

Полученное уравнение есть уравнение Шредингера для описания частицы в потенциальном поле. Частица имеет различные массы (эффективный тензор масс) в зависимости от направления. Такие квазичастицы изучаются в разделе физики твердого тела и физики полупроводников для описания носителей тока в кристаллической решетке, экситонных и примесных состояний. Таким образом, амплитуда волнового пакета в неоднородной среде и волновая функция для частицы в потенциальном поле в квантовой механике аналогичны.

Теперь нетрудно перейти к случаю нелинейных сред, когда диэлектрическая проницаемость зависит от электрического поля волны. Поскольку огибающая волнового пакета является функцией координат и времени, то нелинейная среда будет неоднородной. Поэтому в нелинейной среде параболическое уравнение примет тот же вид (10.11) или (10.12), где вместо необходимо иметь . Например, для слаболинейной среды зависимость диэлектрической проницаемости от поля представлена как в (8.1), и поэтому нелинейное параболическое уравнение принимает форму:

 

. (10.14)

 

Если воспользоваться обозначениями (10.13), то (10.14) можно представить в виде

 

, (10.15)

 

где . В стационарном случае последнее уравнение совпадает с уравнением Гинзбурга-Ландау в феноменологической теории сверхпроводимости [12].

 

§ 11. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

 

Запишем нелинейное параболическое уравнение более компактно:

 

. (11.1)

 

В уравнении (11.1) ввели обозначение оператора

 

 

Поле волны представим в виде

 

. (11.2)

 

Подставим выражение (11.2) в исходное уравнение (11.1) и разделяя мнимые и действительные части, получим

 

; (11.3)

. (11.4)

 

Отметим, что если пренебречь вторыми производными в (11.3) и (11.4), то придем к приближению геометрической оптики, причем для одномерного случая () эти уравнения совпадают с (9.16) при определении фазы с точностью до постоянной величины.

Если , - лишь функция времени, то из (11.4) следует, что

 

.

 

Таким образом, при фиксированной амплитуде и волновом векторе частота плоской волны сдвигается и становится равной

 

.

 

Этот эффект можно наблюдать в кольцевом лазере бегущей волны.

Исследуем устойчивость полученного решения. Предположим, что амплитуда и фаза волны имеют малые возмущения, то есть

 

,

,

 

Подставим эти выражения в уравнения (11.3) и (11.4) и удержим лишь величины первого порядка по малым возмущениям (то есть проведем линеаризацию уравнений), в результате получим систему

 

; (10.5)

.

 

Делая вывод, мы использовали явный вид оператора . Решение системы (11.5) представим в виде

 

; (11.6)

.

 

Подставляя (11.6) в (11.5), получим дисперсионное уравнение

 

(11.7)

 

где определяется соотношением

 

. (11.8)

 

Из (11.7) находим, что

 

. (11.9)

 

Проведем анализ полученного результата для некоторых частных случаев. Пусть , что означает отсутствие продольных (вдоль направления распространения волны) возмущений. Тогда из (11.8) и (11.9) видно, что при условии

 

 

корень в (11.9) становится чисто мнимым. Иными словами, плоская волна становится неустойчивой в поперечном направлении. Знак равенства при этом соответствует порогу самозахвата плоской волны, а дифракционная расходимость подавляется самофокусировкой. Если размер пучка , то наименьшее , поэтому пороговую мощность самозахвата можно оценить согласно выражению

 

.

 

Видно, что пороговая мощность не зависит от размеров поперечного пучка.

Рассмотрим плоскую волну, устойчивую в поперечном направлении . Из (11.8) следует, что

 

.

 

Если , то при условии

 

(11.10)

 

корень становится мнимым, то есть волна неустойчива для продольных возмущений. В отдельных местах она будет “расползаться”, а в других – “сгущаться”. Этот эффект носит пороговый характер, аналогичный эффекту самофокусировки, при условии, конечно, что нелинейный коэффициент . Для малых неравенство (11.10) выполняется со значительным запасом. Более того, в этом случае имеем

 

 

И волна становится неустойчивой при

 

,

 

Которое заведомо выполнялось в предыдущем случае, но так же и при и .

Рис.4. Разбиение монохроматической волны на отдельные волновые “пакеты”

(начальная стадия)

 

Физика неустойчивости в данном случае следующая: плоская волна, движущаяся в некотором направлении (рис.4), промодулирована по амплитуде в этом же направлении. В точках a (“горбы”) амплитуда поля больше, чем в точках b (“впадины”). Поэтому фазовая скорость на “горбах” больше (при ), чем во “впадинах”. Это приводит к тому, что в интервале (a, b) длина волны начнет уменьшаться, а волновой вектор – возрастать. В интервале (b, c), наоборот, длина волны увеличивается, а волновой вектор уменьшается.

Так как , то групповая скорость пакета волн в интервале (a, b) уменьшается по сравнению с групповой скоростью пакета в интервале (b, c). “Пакеты” начнут отделяться друг от друга, произойдет разбиение плоской волны на отдельные волновые пакеты. При этом в интервале (a, b) фронт волнового пакета становится более крутым, тогда как в интервале (b, c) – более пологим. Возникает вопрос, до каких пор будет происходить такое изменение плоской волны (в продольном и поперечном направлении) и какая волна будет в этом случае устойчивой. Частично не это дается ответ в следующем параграфе.

 

 

§ 12. СОЛИТОНЫ

 

Как показано в предыдущем параграфе, при определенных условиях плоская волна становится неустойчивой относительно продольных возмущений. Волна разбивается на отдельные волновые пакеты, которые изменяют свою форму, в частности, испытывают самосжатие. Однако для сильно сжатого волнового пакета существенную роль начинает играть дисперсионное расплывание пакета, имеющее место в обычной линейной оптике. Конкуренция самосжатия и дисперсионного расплывания может привести к стабилизации формы волнового пакета. Возникает устойчивый импульс, который двигается в среде, не изменяя своей формы. Такую уединенную волну называют солитоном. Рассмотрим подробнее формирование такого устойчивого волнового пакета в нелинейной среде.

Будем искать амплитуду волнового пакета в виде

 

 

. (12.1)

 

В данном случае полагаем, что волна стабилизирована в поперечном направлении и обладает огибающей амплитуды в продольном направлении, нахождение формы которой и является нашей задачей. Подставим (12.1) в нелинейное параболическое уравнение (11.1) и получим

 

. (12.2)

 

Упростим это уравнение. Введем новую переменную

 

,

 

И перепишем (12.2) в иной форме, а именно:

 

; (12.3)

, (12.4)

 

где . Уравнение (12.3)

представляет собой уравнение Ньютона для материальной точки единичной массы в потенциальном поле вида (12.4) (рис.5). Из графиков видно, что имеется два минимума при . Это означает, что плоская волна с такой амплитудой будет устойчива. Потенциальная энергия вблизи своего минимума имеет вид

 

.

 

 

Рис.5. “Потенциальная энергия” образования устойчивых форм волнового “пакета” в нелинейной среде

 

Откуда видно, что частота гармон