Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

Системами нелинейных уравнений (СНУ) называются системы вида:

(3.1)

если хотя бы одна из функций нелинейна. Здесь - неизвестные переменные.

Решение систем нелинейных уравнений – одна из трудных задач вычислительной математики. Трудность состоит в том, чтобы определить: имеет ли система решение, и, если – да, то сколько. Уточнение решений в заданной области – более простая задача.

Пусть функции определены в областях . Тогда область и будет той областью, где можно найти решение.

Наиболее распространенными методами уточнения решения являются метод простых итераций, метод Ньютона и его модификация.

 

Метод простых итераций

Из исходной системы (3.1) путем эквивалентных преобразований переходим к системе вида:

(3.2)

Итерационный процесс, определяемый формулами

,

можно начать, задав начальное приближение . Достаточными условиями сходимости итерационного процесса являются одно из двух следующих условий:

или .

Распишем первое условие:

при ,

……………………………..

при .

Распишем второе условие:

при ,

………………………………

при .

Рассмотрим один из способов приведения системы (3.1) к виду (3.2), допускающему сходящиеся итерации.

Пусть задана система второго порядка вида:

.

Требуется привести ее к виду:

.

Умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразованной системы

где .

Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразованной системы будет иметь вид

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости

и . (3.3)

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений 4 порядка с четырьмя неизвестными для определения постоянных :

. (3.4)

При таком выборе параметров условия сходимости будут соблюдены, если частные производные функций и будут изменяться не очень быстро в окрестности точки . Тогда, для того, чтобы решить систему (3.1), нужно задать начальное приближение и вычислить значения производных и , в этой точке. В противном случае, вычисление осуществляется на каждом шаге итераций, при этом , , .

Метод простых итераций является самоисправляющимся, универсальным и простым для реализации на ЭВМ. Если система имеет большой порядок, то применение данного метода, имеющего медленную скорость сходимости, не рекомендуется. В этом случае, используют метод Ньютона, который имеет более быструю сходимость.