Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекция 3.1.2 «Основные теоремы дифференциального начисления. Правило Лопиталя»
Учебные вопросы: 1. Основные теоремы дифференциального начисления 2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Основные теоремы дифференциального начисления Теорема Ролля Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, f¢(e) = 0. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f (x) касательная параллельна оси О х. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки. Теорема Ролля имеет несколько следствий: 1) Если функция f (x) на отрезке [ a, b ] удовлетворяет теореме Ролля, причем f (a) = f (b) = 0, то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что f ¢(e) = 0, т. е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. 2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f (x) имеет производную (n -1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1)- го порядка равна нулю.
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e a < e < b, такая, что . Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке. Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ. у
В
А
0 а e b x Если функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f (x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В (см. рис.). Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно. Определение. Выражение называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде: , где 0 < q < 1, D x = b – a, Dy = f (b) – f (a).
Теорема Коши Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что , т. е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e. Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g (x) = x) теоремы Коши. Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 416; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.229.50.161 (0.02 с.) |