Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Приведение исходной системы к виду, удобному для применения сходящегося итерационного процесса
Теорема сходимости итерационного процесса накладывает жесткие условия на коэффициенты системы (4.3). Однако, если , то с помощью элементарных преобразований системы (4.3) ее можно заменить эквивалентной системой , такой, что условия теоремы сходимости будут выполнены. Умножим левую и правую часть соотношения (4.3) слева на матрицу , где - матрица с малыми по модулю элементами. Проведем преобразования: Если обозначить , , то получим . Если элементы матрицы достаточно малы по модулю, т.е. ú , то элементы матрицы будут удовлетворять достаточному условию сходимости итерационного процесса. Итерационный процесс заканчивается, если для двух приближений и выполнено условие , где - заданная точность.
2. Метод Зейделя
Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простых итераций. Основная его идея состоит в том, что при вычислении -го приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ранее -е приближения неизвестных . Т.е. найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.4.1). Предполагая, что -е приближения корней системы (4.4) известны, -е приближения корней будут находиться по следующим итерационным формулам метода Зейделя: . (4.8) Теорема 4.3 (достаточное условие сходимости метода Зейделя). Если для приведенной системы выполнено хотя бы одно из условий: 1) , где ; 2) , где ; 3) , где , то процесс Зейделя сходится к единственному решению системы при любом выборе начального вектора. Запишем систему (4.8) в сокращенном виде: (4.9) Введем обозначения: , где , . Тогда формулу (4.9) можем переписать в матричном виде: , (4.10) где , , . Теорема 4.4 ( необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя). Для сходимости процесса Зейделя, заданного формулой (4.9), для приведенной системы линейных уравнений (4.4) при любом выборе свободного члена и начального вектора необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения были по модулю меньше единицы.
3. Метод релаксации Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (4.1), в которой . Сделаем преобразования: для этого свободные члены перенесем в левую часть и каждое -тое уравнение поделим на . Таким образом, получим систему, удобную для релаксации:
(4.12) где . Введем понятие невязки для приближенного решения . Пусть дана система , тогда точное решение можно записать в виде , где -правка корня . Подставим в систему, получим Введем обозначение . Тогда . Выражение называется невязкой для приближенного решения . Пусть задано начальное приближение системы (4.12): . Подставим данное приближение в систему (4.12) и получим невязки : (4.13) Если одной из неизвестных дать приращение , то соответствующая невязка уменьшится на величину , а все остальные невязки изменятся на величину . Чтобы обратить очередную невязку в нуль, нужно величине дать приращение , следовательно, , а остальные невязки будут равны . Метод релаксации (метод ослабления) заключается в том, что на каждом шаге обращают в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы будут равны нулю с заданной точностью.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 549; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.172.115 (0.038 с.) |