Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды
Для функции , имеющей все производные до -го порядка включительно, в окрестности точки (т. е на некотором интервале, содержащем точку ) справедлива формула Тейлора: , (3.18) где – так называемый остаточный член. Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки и в этой окрестности, то справа в формуле получается степенной ряд, который называется рядом Тейлора: (3.19) Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если при . В этом случае степенной ряд справа сходится и его сумма равна данной функции (говорят, что функция разложена в ряд по степеням ). Если же , то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции). Частный случай ряда Тейлора при иногда называют рядом Маклорена. Он имеет вид (3.20) Для каждой из элементарных функций существует такое и , что в интервале она разлагается в ряд Тейлора или (если ) в ряд Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена: · , ; (3.21) · , ; (3.22) · , ; (3.23) · , ; (3.24) · Биномиальный ряд , (3.25) где – произвольное постоянное число, .
Пример. Разложить в ряд Тейлора по степеням . ◄ Имеем: ; … Таким образом, . ► Ряды Фурье Функциональный ряд вида , (3.26) называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа и ( =1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд (3,26) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , т. е. , так как и являются периодическими функциями с периодом . Рядом Фурье интегрируемой и периодической с периодом интегрируемой функции называется тригонометрический ряд (3.26) с коэффициентами и ( =1, 2, …), определяемыми формулами: (свободный член), (3.27)
, ( =1, 2, …), (3.28) , ( =1, 2, …). (3.29) Определенные по формулам (3.27) ― (3.29) коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции . Теория разложения функций в ряды Фурье называется гармоническим анализом. Ряд Фурье функции может либо расходиться, либо сходиться, причем как к функции , так и к функции, отличной от нее. Условия сходимости ряда Фурье даются теоремой Дирихле. Теорема Дирихле. Если функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на отрезке и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на , то ряд Фурье функции сходится для любых из и его сумма равна:
1) для всех точек непрерывности из интервала ; 2) для всех точек разрыва , где и – левосторонний и правосторонний предел функции в этих точках, соответственно; 3) при и .
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: .
Рис. 1
◄ Эта функция кусочно монотонная и ограниченная. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. Вычисляем коэффициенты Фурье:
=
=
Окончательно получаем . В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. в данном случае . ►
Если является четной функцией , то =0 ( =1, 2, …) и, следовательно, разложение четной функции в ряд Фурье будет содержать только косинусы: , где
, , ( =1, 2, …). (3.30) Для нечетной функции коэффициенты ( =1, 2, …) и, следовательно, ряд Фурье для нечетной функции будет содержать только синусы: , где
, ( =1, 2, …). (3.31) Эти формулы позволяют упрощать вычисления при нахождении коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Но следует отметить, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: (рис. 2). Рис. 2 ◄ Заданная функция является нечетной. Следовательно, в ее разложении будут только синусы. По формуле (3.31) вычисляем коэффициенты : . Таким образом, получаем ряд . Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю. ►
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 605; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.227.24.209 (0.019 с.) |