Комплексные числа. Алгебра комплексных чисел

Комплексные числа не являются числами в элементарном смысле слова, применяемыми при подсчетах и измерениях. Они составляют новый класс абстрактных математических объектов, определяемый описанными ниже свойствами.

Каждому комплексному числу можно поставить в соответствие единственную пару действительных чисел и и обратно ( ). Действительные числа содержатся в классе комплексных чисел в качестве пар . Пары называются чисто мнимыми комплексными числами. Комплексное число называется мнимой единицей.

Сумма и произведение двух комплексных чисел и определяются соответственно следующим образом:

, (1.4.1)

. (1.4.2)

Два комплексных числа и равны () тогда и только тогда, когда и .

Если и действительны (т. е. ), то определение (1.4.2) совпадает с обычным. При = = из определения произведения следует:

. (1.4.3)

Справедливы следующие законы сложения и умножения комплексных чисел:

a) , (переместительный);

b) , (сочетательный);

c) (распределительный (относительно сложения)).

Каждое комплексное число может быть записано в виде суммы (алгебраическая форма комплексного числа) действительного числа и чисто мнимого числа . Действительные числа и соответственно называются действительной и мнимой частью комплексного числа . Два комплексных числа и , имеющие одинаковые действительные и противоположные мнимые части, называются сопряженными комплексными числами.

При сложении комплексных чисел согласно (1.4.1) необходимо отдельно сложить их действительные и мнимые части. Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел и можно найти такое число , что . Это число называется разностью чисел и и обозначается символом . Очевидно,

. (1.4.4)

Перемножение двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, будет согласовано с определением (1.4.2), если его производить по обычным правилам алгебры с заменой произведения на .

 

Пример. Даны три комплексных числа: , , . Вычислить .

◄

. ►

 

Произведение комплексного числа на сопряженное ему число всегда неотрицательное действительное число. В самом деле,

. (1.4.4)

Число называется частным двух чисел и и обозначается символом , если (). Деление комплексных чисел проводится при использовании формулы

. (1.4.5)

 

Пример: .

 

Произведение равных комплексных чисел называется -й степенью числа и обозначается символом :

.

Обратная операция – извлечение корня – определяется следующим образом: число называется корнем -й степени из числа , если (обозначается символом , причем для пишут просто ).

Равенство (1.4.3) можно записать в виде , и для мнимой единицы имеем:

. (1.4.6)