Метод Фурье решения уравнений с частными производными

Метод Фурье (или метод разделения переменных), широко используемый при решении ряда задач математической физики, состоит в следующем. Искомая функция (решение), зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых вместе с краевыми условиями исходной задачи позволяют найти искомое решение.

Сущность этого метода рассмотрим на следующем примере.

Пусть требуется найти решение одномерного волнового уравнения

, (5.31)

удовлетворяющее граничным условиям

, (5.32)

(для струны эти условия означают, что ее концы при и неподвижны (закреплены)), и начальным условиям

, . (5.33)

Ищем решение в виде произведения

,

подставив которое в исходное уравнение, имеем и, разделив это равенство на , получаем

.

Каждое отношение зависит здесь от своей переменной, а потому равенство возможно только в том случае, когда каждое из этих отношений равно постоянному числу. Полагая , , где постоянная (случай будет рассмотрен позднее), получаем два уравнения:

, (5.34)

. (5.35)

Оба уравнения являются линейными однородными уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами, характеристические уравнения которых при имеют комплексные корни. Общие решения этих уравнений будут:

, (5.36)

, (5.37)

где , , , – произвольные постоянные.

Постоянные и определяются из граничных условий (5.32). Так как не равна тождественно нулю (в противном случае ), функция должна удовлетворять условиям (5.32), т. е. должно быть , . Отсюда получаем систему уравнений:

Из первого уравнения находим . Тогда из второго уравнения следует

.

Так как (в противном случае было бы и ), имеем тригонометрическое уравнение , из которого получаем

( =1, 2, …) (5.38)

( =0 не берется, так как и в этом случае было бы и ). Числа называются собственными числами для уравнения (5.34) с граничными условиями (5.32), а соответствующие им решения

(5.39)

– собственными функциями.

Если же взять , то уравнение (5.34) будет иметь отличное от нуля общее решение

,

которое не может удовлетворять граничным условиям (5.32).

Для каждого собственного числа получается решение исходного волнового уравнения (5.31):

, (5.40)

которое удовлетворяет граничным условиям (5.32) (постоянная включена в и ). Так как заданное волновое уравнение линейное и однородное, то сумма решений

(5.41)

также будет его решением, удовлетворяющим граничным условиям (5.32). Это решение должно еще удовлетворять начальным условиям (5.33). Подставив в (5.41), получаем из первого начального условия

. (5.42)

Дифференцируя члены равенства (5.41) по и подставляя затем , получаем из второго начального условия

. (5.43)

Из этих равенств следует, что если числа являются коэффициентами ряда Фурье функции , т. е. если

,

а числа – коэффициентами Фурье функции , т. е. если

,

то ряд (5.41) представляет функцию , которая является искомым решением задачи (5.31) – (5.33).

В случае, когда исходное уравнение в частных производных является неоднородным, т. е. в характеризуемом этим уравнением физическом процессе имеются внешние силы и источники, предварительно находится система собственных функций соответствующего однородного уравнения, и решение ищется в виде ряда по этим собственным функциям с переменными коэффициентами.