Приближенное решение дифференциальных уравнений в частных производных

В реальных физических процессах искомая функция зависит от нескольких переменных, а это приводит к уравнениям в частных производных от искомой функции. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ), в этом случае для выбора одного конкретного решения, удовлетворяющего уравнению в частных производных, необходимо задавать дополнительные условия (т.е. краевые условия). Чаще всего такие задачи на практике не имеют аналитического решения и приходится использовать численные методы их решения, в том числе метод сеток, метод конечных разностей и так далее. Мы будем рассматривать класс линейных уравнений в частных производных. В общем виде эти уравнения записываются в виде

 

,

(7.1)

 

где: A, B, C, a, b, c -заданные непрерывные функции двух переменных, имеющие непрерывные частные производные, u -искомая функция. Для сокращения записи введем обозначения

 

; ; ; ; .

 

Будем рассматривать упрощенную форму записи (7.1) вида

 

(7.2)

 

и рассмотрим частный случай (7.2), когда a=b=c=F º0, т.е.

 

.

(7.3)

 

Путем преобразований уравнение (7.3) может быть приведено к каноническому виду (к одному из трех стандартных канонических форм) эллиптическому типу, гиперболическому типу, параболическому типу. Причем тип уравнения будет определяться коэффициентами А, В, С, а именно – знаком дискриминанта

 

D=B²- 4 ×A×C.

 

Если D <0, то имеем уравнение эллиптического типа в точке с координатами x, y; если D =0, то (7.3)-параболического типа; если D >0, то (7.3)-гиперболического типа; если D не сохраняет постоянного знака, то (7.3)-смешанного типа.

 

Замечание. Если А, В, С - константы, тогда каноническое уравнение (7.3) называется полностью эллиптического, параболического, гиперболического типа.

Введем понятие оператора Лапласа для сокращенной записи канонических уравнений вида

 

.

 

Используя это определение, запишем сокращенные канонические уравнения всех трех типов

1. D u =0. Это уравнение эллиптического типа, так называемое уравнение Лапласа. В механике это уравнение описывает стационарные тепловые поля, установившееся течение жидкости и т.д.

2.D u =- f, где f -заданная непрерывная функция. Это уравнение Пуассона имеет эллиптический тип и описывает процесс теплопередачи с внутренним источником тепла.

3. , где a -константа. Не во всех уравнениях в качестве переменных будут выступать стандартные переменные x, y. Может быть также переменная времени. Это уравнение диффузии описывает процесс теплопроводности и является уравнением параболического типа.

4. , а -константа. Это уравнение гиперболического типа - так называемое волновое уравнение и оно описывает процесс распространения волн.

 

 

7.1 Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности)

 

Смешанная задача означает, что следует найти искомую функцию, удовлетворяющую заданному уравнению в частных производных, краевым, а так же начальным условиям.

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности

 

, k =const>0.

(7.4)

 

Задано начальное условие

 

(7.5)

 

и заданы краевые условия первого рода

 

(7.6)

 

Требуется найти функцию u(x,t), удовлетворяющую в области D (0< x a, 0< t T) условиям (7.5) и (7.6). Физически это можно представить как стержень, на концах которого поддерживается требуемый температурный режим, заданный условиями (7.6).

Рисунок 10 – Неявная схема

При проведении замены получим , т.е. k =1. Задача решается методом сеток: строим в области D равномерную сетку с шагом h по оси x и шагом t по t (см. рисунок 10).

Приближенное значение искомой функции в точке - обозначим через . Тогда ; ; i =0,1,..., n; ;

j =0,1,..., m; .
Заменим производные разностными отношениями

 

;

.

 

В результате получим неявную двухслойную схему с погрешностью O(t+h²)

 

.

 

Используя подстановку , выразим из этой схемы u_i,j-1

 

,

(7.7)

 

где: u_0,j=m₁ (t_j); u_n,j=m₂ (t_j).

Получаем разностную схему, которой аппроксимируем уравнение (7.4). Эта схема (7.7) неявная, и выглядит так, как показано на рисунке 10. При построении схемы (7.7) получается система линейных уравнений с трехдиагональной матрицой. Решив ее любым способом (в частности, методом прогонки), получаем значения функции на определенных временных слоях. Так, на нулевом временном слое используем начальное условие U_i,0=f (x_i), т.к. j =0. Эта неявная схема более устойчива для любых значений параметра l>0.

Есть и явная схема (рисунок 11), но она устойчива только при , т.е. при .

Рисунок 11 - Явная схема