У которой, как известно, собственными числами являются диагональные элементы.

4.1.4 Метод итераций определения первого собственного числа матрицы.

 

Пусть дано характеристическое уравнение:

 

det(A -l* E) = 0,

 

где l₁, l₂,..., l_n - собственные значения матрицы А.

Предположим, что |l₁|>|l₂|³|l₃|³…³|l_m|, т.е. l₁ – наибольшее по модулю собственное число.

Тогда для нахождения приближенного значения λ₁ используется следующая схема:

1) выбирают произвольно начальный вектор у⁽⁰⁾;

2) строят последовательность итераций вида:

 

 

3) выбирают , тогда

 

или ,

 

где y_i – соответствующие координаты векторов y^(m+1) и y^(m).

Возникает вопрос выбора начального вектора у⁽⁰⁾. При неудачном выборе можем не получить значения нужного корня, или же предела может не существовать. Этот факт при вычислении можно заметить по прыгающим значениям этого отношения, следовательно, нужно изменить у⁽⁰⁾. В качестве первого собственного вектора можно взять вектор у⁽ⁿ⁺¹⁾ и пронормировать его.

Пример. Найти наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий ему собственный вектор матрицы А

 

1) Выбираем начальный вектор .

 

2) Вычисляем последовательно векторы y⁽¹⁾, y⁽²⁾, …, y⁽¹⁰⁾. Вычисления помещаем в таблицу 2.

 

Таблица 2 – Вычисление векторов y⁽ⁿ⁺¹⁾

y^(0)	А*y^(0)	А^2*y^(0)	А^3*y^(0)	……..	А^9*y^(0)	А^10* y^(0)

3) Вычисляем отношения координат векторов

 

 

4) Вычисляем λ₁ как среднее арифметическое

 

.

 

5) Определим соответствующий числу λ₁ собственный вектор:

 

 

Нормируем y⁽¹⁰⁾, разделив на длину вектора

 

получим вектор

Далее можем определить второе собственное число

 

,

где i=1,2,…,n.

При вычислении собственных чисел подобным образом, будет накапливается ошибка. Данная методика позволяет приближенно оценить собственные значения матрицы.

 

 

Задача приближения функции

 

Постановка задачи. Пусть на отрезке [a,b] задана функция у= f(x) своими n+1 значениями , в точках .

Допустим, что вид функции f(x) неизвестен. На практике часто встречается задача вычисления значений функции у= f(x) в точках х, отличных от . Кроме того, в некоторых случаях, не смотря на то, что аналитическое выражение у=f(x) известно, оно может быть слишком громоздким и неудобным для математических преобразований (например, специальные функции). Кроме этого значения y_i могут содержать ошибки эксперимента.

Определение. Точки называются узлами интерполяции.

Требуется найти аналитическое выражение функции F(x), совпадающей в узлах интерполяции со значениями данной функции, т.е.

 

 

Определение. Процесс вычисления значений функции F(x) в точках отличных от узлов интерполирования называется интерполированием функции f(x). Если , то задача вычисления приближенного значения функции в т. х называется интерполированием, иначе - экстраполированием.

Геометрически задача интерполирования функции одной переменной означает построение кривой, проходящей через заданные точки (рисунок 5). То есть задача в такой постановке может иметь бесконечное число решений.

у

x x x x х

 

Рисунок 5 - Геометрическая иллюстрация задачи интерполирования функции

 

Задача становится однозначной, если в качестве F(x) выбрать многочлен степени не выше n, такой что:

 

F (x )=y , F (x )=y ,..., F (x )=y .

 

Определение. Многочлен F (x), отвечающий вышеназванным условиям, называется интерполяционным многочленом.

Определение. Когда многочлен F(x) выбирается в классе степенных функций, то интерполяция называется параболической.

Знание свойств функции f позволяет осознанно выбирать класс G аппроксимирующих функций. Широко используется класс функций вида

 

(5.1)

 

являющихся линейными комбинациями некоторых базисных функций (x),..., _m(x). Будем искать приближающую функцию в виде многочлена степени m, с коэффициентами с ,...,с , которые находятся в зависимости от вида приближения. Функцию Ф_m(х) называют обобщенным многочленом по системе функций j₀(х),j₁(х),…,j_m(х), а число m – его степенью. Назовем обобщенный многочлен Ф_m(х) интерполяционным, если он удовлетворяет условию

 

Ф_m(х_i)=y_i, (i=0,1,…,n). (5.2)

 

Покажем, что условие (5.2) позволяет найти приближающую функцию единственным образом

 

(5.3)

 

Система (5.3) есть система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов с₀,с₁,…,с_m.

Эта система n линейных уравнений имеет единственное решение, если выполняется условие m=n и определитель квадратной матрицы Р

 

 

Определение. Система функций (x),..., _m(x), линейно независимая в точках х₀,х₁,…,х_n, которые попарно различны и выписанный выше определитель не равен нулю, называется Чебышевской системой функций. Если мы имеем такую систему, то можно утверждать, что существует единственный для данной системы функций интерполяционный многочлен Ф_m(х), коэффициенты которого определяются единственным образом из системы (5.3).

Пример. При m£n система функций 1 ,х,х²,…,х^m линейно независима в точках х₀,х₁,…,х_n, если они попарно различны.